2.14.2 双曲螺线

双曲螺线的极坐标方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.248)}& \rho =\frac{a}{\left|\phi \right|}\left(a>0,-\mathrm{\infty }<\phi <0,0<\phi <\mathrm{\infty }\right).\end{array}$$

双曲螺线 (图 2.74) 在关于 $y$ 轴对称位置有两个分支 $\left(\phi <0,\phi >0\right)$ . 直线 $y=a$ 为两个分支的渐近线,原点为渐近点. 区域 $P_{1}O{P}_2$ 的面积 $S=\frac{a^2}{2}\left(\frac{1}{{\phi }_1}-\frac{1}{{\phi }_2}\right)$ ,且 $\underset{{\phi }_2\to \mathrm{\infty }}{lim}S=\frac{a^2}{2{\phi }_1}$ . 曲率半径 $r=\frac{a}{\phi }{\left(\frac{\sqrt{1+{\phi }^2}}{\phi }\right)}^3$ .