12.7.4 希尔伯特空间中的紧算子

设 $T:H\to H$ 为一紧算子. 那么 $T$ 是有穷维算子列 (在 $B\left(H\right)$ 中) 的极限. 从下面的命题可以看出紧算子与有穷维情形的相似性:

如果 $C$ 是一有穷维算子,并且 $T=I-C$ ,那么 $T$ 的内射性蕴涵着 $T^{-1}$ 的存在性,并且 $T^{-1}\in B\left(H\right)$ .

如果 $C$ 是一紧算子,那么下列几个命题等价:

a) 存在 $T^{-1}$ ,并且它有界;

**b) $x\ast \ast \ne 0\Rightarrow Tx\ne 0$ ,即 $T$ 是内射;

**c) $T(\ast \ast H)=H$ ,即 $T$ 是满射.