1.5.1 虚数和复数

1.5.1.1 虚数单位

虚数单位用 $\mathrm{i}$ 表示,代表不同于任何实数的一个数,其平方等于 -1 . 在电学中, 通常用字母 $\mathrm{j}$ 代替 $\mathrm{i}$ ,以避免和同样用 $\mathrm{i}$ 表示的电流强度混淆. 引入虚数单位使得数的概念广义化, 并产生复数, 这在代数和分析中意义重大. 在几何和物理学中, 复数有多种解释.

1.5.1.2 复数

复数的代数形式是

$$\begin{array}{}\text{(1.131a)}& z=a+\mathrm{i}b.\end{array}$$

当 $a$ 和 $b$ 取遍所有可能实数值时,则得到所有可能的复数 $z$ . 数 $a$ 是数 $z$ 的实部, 数 $b$ 是虚部:

$$\begin{array}{}\text{(1.131b)}& a=\mathrm{Re}\left(z\right),b=\mathrm{Im}\left(z\right).\end{array}$$

若 $b=0$ ,则 $z=a$ ,故实数是复数的子集. 若 $a=0,z=\mathrm{i}b$ ,则是一个 “纯虚数”.

复数集用 $\mathbb{C}$ 表示.

注 关于复变量 $z=x+\mathrm{i}y$ 的函数 $\omega =f\left(z\right)$ 将在函数论中进行讨论 (参见第 953 页 14.1 及其后).