13.5.1 拉普拉斯微分方程

根据 $q\left(\overrightarrow{r}\right)=0$ 的 (13.128),对一个无源的向量场 ${\overrightarrow{V}}_1=\mathrm{grad}U$ 确定其位势的问题导致拉普拉斯微分方程 (Laplace differential equation)

$$\begin{array}{}\text{(13.134a)}& \mathrm{div}{\overrightarrow{V}}_1=\mathrm{div}\mathrm{grad}U=\mathrm{\Delta }U=0.\end{array}$$

在笛卡儿坐标系它是

$$\begin{array}{}\text{(13.134b)}& \mathrm{\Delta }U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0.\end{array}$$

满足这个微分方程的每个函数, 如果它是连续的, 并且具有连续的一阶和二阶偏导数, 则被称为拉普拉斯函数 (Laplace function) 或调和函数 (harmonic function) (亦见第955页 14.1.2.2,2.).

有 3 种基本类型的边值问题:

(1) (对一个内部区域的) 边值问题或狄利克雷问题 (Dirichlet problem): 确定一个函数 $U\left(x,y,z\right)$ ,它在一个给定的空间或平面区域内部是调和的,并在这个区域边界上取给定的值.

(2) (对一个内部区域的) 边值问题或诺伊曼问题 (Neumann problem): 确定一个函数 $U\left(x,y,z\right)$ ,它在一个给定的区域内部是调和的,并且其法向导数 $\frac{\partial U}{\partial n}$ 在这个区域边界上取给定的值.

(3) (对一个内部区域的) 边值问题: 确定一个函数 $U\left(x,y,z\right)$ ,它在一个给定的区域内部是调和的,并且表达式 $\alpha U+\beta \frac{\partial U}{\partial n}\left(\alpha ,\beta \text{是常数,}{\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0\right)$ 在这个区域边界上取给定的值.