7.2.5 余项估计

7.2.5.1 借助强级数的估计

为了判断收敛级数的 $n$ 项部分和与级数和的逼近程度,必须估计级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ 的余项的绝对值

\begin{matrix} (7.71) & | S - S_{n} | = | R_{n} | = | \sum_{k = n + 1}^{\infty} a_{k} | \leq \sum_{k = n + 1}^{\infty} | a_{k} | . \end{matrix}

为此,需要利用 $\sum_{k = n + 1}^{\infty} | a_{k} |$ 的强级数,强级数通常为一个几何级数或者为另一个比较容易求和并估计的级数.

估计级数 $e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的余项. 当 $m \geq n + 1$ 时,比较该级数相邻两项的比值 $\frac{a_{m + 1}}{a_{m}}$ ,有 $\frac{a_{m + 1}}{a_{m}} = \frac{m!}{(m + 1)!} = \frac{1}{m + 1} \leq \frac{1}{n + 2} = q < 1$ ,因此余项 $R_{n} =$ $\frac{1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 2)!} + \frac{1}{(n + 3)!} + \dots$ 可用首项为 $a = \frac{1}{(n + 1)!}$ ,公比为 $q = \frac{1}{n + 2}$ 的几何级数 (7.15) 来强化, 有

\begin{matrix} (7.72) & R_{n} < \frac{a}{1 - q} = \frac{1}{(n + 1)!} \frac{n + 2}{n + 1} < \frac{1}{n!} \frac{n + 2}{n^{2} + 2 n} = \frac{1}{n \cdot n!} . \end{matrix}

7.2.5.2 交错收敛级数

对于收敛的交错级数, 若各项的绝对值单调递减趋于 0 , 则容易估计出它的余项 (参见第621页 $7.2 .3 .3, 1.)$ :

\begin{matrix} (7.73) & | R_{n} | = | S - S_{n} | < | a_{n + 1} | . \end{matrix}

7.2.5.3 特殊级数

对某些特殊的级数, 如泰勒级数, 有用以估计其余项的特殊公式 (参见第 630 页 7.3.3.3).