13.4.4 场的叠加

13.4.4.1 离散源分布

类似于物理学中场的叠加, 向量场也相互叠加. 叠加律 (superposition law) 为: 如果向量场 ${\overrightarrow{V}}_{\nu }$ 有位势 $U_{\nu }$ ,则向量场

$$\begin{array}{}\text{(13.133a)}& \overrightarrow{V}=\sum {\overrightarrow{V}}_{\nu }\text{有位势}U=\sum U_{\nu }\text{.}\end{array}$$

对于具有源强度 $e_{\nu }\left(\nu =1,2,\cdots ,n\right)$ 的 $n$ 个离散点源,它们的场被叠加,所得的场可以由诸位势 $U_{\nu }$ 的代数和所确定:

$$\begin{array}{}\text{(13.133b)}& \overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)=-\mathrm{grad}\sum _{\nu =1}^n{U}_{\nu },\text{ 其中 }{U}_{\nu }=\frac{e_{\nu }}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_{\nu }|}.\end{array}$$

这里,向量 $\overrightarrow{r}$ 仍为所考虑点的位置向量, ${\overrightarrow{r}}_{\nu }$ 是源的位置向量.

如果存在一个无旋场 ${\overrightarrow{V}}_1$ 以及一个无散场 ${\overrightarrow{V}}_2$ ,并且它们是处处连续的,则

$$\begin{array}{}\text{(13.133c)}& \overrightarrow{V}={\overrightarrow{V}}_1+{\overrightarrow{V}}_2=-\frac{1}{4\pi }\left[\mathrm{grad}\iiint \frac{q\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\ast }|}\mathrm{d}v\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)-\mathrm{rot}\iiint \frac{\overrightarrow{w}\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\ast }|}\mathrm{d}v\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)\right].\end{array}$$

如果向量场被拓广到无穷远,则当 $r=\left|\overrightarrow{r}\right|\to \mathrm{\infty },\left|\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)\right|$ 充分快地衰减时, $\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 的分解是唯一的. 上述积分是展布在全空间上的.

13.4.4.2 连续源分布

如果源沿空间的曲线、曲面或在一个区域中连续分布, 那么代替有限个源强度 $e_{\nu }$ ,有相应于源分布密度的无穷小量,而代替和,有展布在这些对象 (曲线、曲面或区域) 上的积分. 在源强度在空间连续分布的情形,散度是 $q\left(\overrightarrow{r}\right)=\mathrm{div}\overrightarrow{V}$ .

类似的命题对于由旋度定义的场的位势也成立. 在旋度在空间连续分布的情形,"旋度密度" (rotation density) 由 $\overrightarrow{w}\left(\overrightarrow{r}\right)=\mathrm{rot}\overrightarrow{V}$ 定义.

13.4.4.3 结论

一个向量场由其在空间中的源和旋度唯一确定, 如果所有这些源和旋度只局限于一个有限空间中.