第 12 章 泛函分析

1. 泛函分析

随着科学、工程和经济等各种门类不同学科的共有结构特性不断地被揭示, 泛函分析诞生了. 从而发现了蕴涵在微积分、线性代数、几何学以及其他数学领域中通用的统一方法的一般原理.

2. 无穷维空间

有许多问题在其建模时要求引入无穷个方程或不等式组. 仅仅使用有穷维空间将无法处理微分或积分方程、逼近、变分或优化问题.

3. 线性和非线性算子

在泛函分析的最初阶段, 尤其是 20 世纪上半叶对线性或线性化问题的透彻研究, 直接导致了线性算子理论的发展. 近来, 需要解决越来越多的仅能用非线性方法描述的问题, 从而泛函分析应用于实际问题迫切要求发展非线性算子理论. 泛函分析已经越来越多地用于求解微分方程、数值分析和优化问题, 其原理和方法已经成为工程技术和其他应用科学中不可或缺的工具.

4. 基本结构

本章中我们仅介绍基本结构, 并且也仅讨论最重要的抽象空间以及这些空间中某些特殊类型的算子. 一些抽象概念将通过某些例子予以说明, 而其详细的论述将在本书其他章节中展开, 具体描述并证明这样的问题解的存在唯一性定理. 由于其抽象和一般的特性, 显然, 泛函分析以数学定理的形式阐明了众多现象的一般关系, 这些数学定理可直接用于求解各种各样的实际问题.