5.3.6 李群和李代数

5.3.6.1 引言

李群和李代数是以挪威数学家索弗斯·李 (Sophus Lie, 1842-1899) 命名的. 本章只考虑矩阵的李群, 因为它们在应用中最重要. 矩阵李群的主要例子是:

• 正交矩阵群 $O\left(n\right)$ ,

• 行列式为 +1 的正交矩阵 (即 ${\mathbb{R}}^n$ 中刻画旋转的正交矩阵) 形成的子群 $\mathrm{SO}\left(n\right)$ .

• 刻画多体运动的欧几里得群 $\mathrm{SE}\left(n\right)$ .

这些群在计算机制图和机器人理论中有许多应用.

李群和对应的李代数间最重要的关系将借助指数映射刻画. 这个关系可通过下列例子说明.

• 一阶微分方程或微分方程组的初值问题的解可以应用指数函数确定.

对于 $y=y\left(t\right)$ 的初值问题 (5.143a),有下列解 (5.134b):

$$\begin{array}{}\text{(5.134a)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy\left(x\text{ 是常数 }\right),y\left(0\right)=y_0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5.134b)}& y\left(t\right)={\mathrm{e}}^{xt}{y}_0.\end{array}$$

类似地,对于未知向量 $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\left(t\right)$ 的具有常系数矩阵 $\mathbf{X}$ 的一阶微分方程组,初值问题(5.135a)

$$\begin{array}{}\text{(5.135a)}& \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{y}}{\mathrm{d}t}={(\frac{\mathrm{d}{y}_1}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}{y}_2}{\mathrm{d}t},\cdots ,\frac{\mathrm{d}{y}_n}{\mathrm{d}t})}^{\mathrm{T}}=\mathbf{X}\overrightarrow{y}\left(\mathbf{X}\text{ 是常数矩阵 }\right),\overrightarrow{y}\left(0\right)={\overrightarrow{y}}_0,\end{array}$$

有含矩阵指数函数 ${\mathrm{e}}^{tX}$ 的解 (5.135b):

$$\begin{array}{}\text{(5.135b)}& \overrightarrow{y}\left(t\right)={\mathrm{e}}^{\mathbf{X}t}{\overrightarrow{y}}_0,{\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{t}^k{\mathbf{X}}^k={\mathbf{I}}_{n\times n}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{t}^k{\mathbf{X}}^k.\end{array}$$

对于给定的(n, n)方阵 $\mathbf{X}$ 特殊的矩阵指数函数 ${\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}$ ,有下列性质:

• ${\mathrm{e}}^{0\mathbf{X}}={\mathbf{I}}_{(n,n)}$ ,其中 ${\mathbf{I}}_{(n,n)}$ 表示单位矩阵.

• ${\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}$ 可逆,因为 $det{\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}={\mathrm{e}}^{t\cdot \mathrm{Tr}\mathbf{X}}\ne 0$ .

• 对于每个 $t_1,t_2\in \mathbb{R},{\mathrm{e}}^{t_1\mathbf{X}}{\mathrm{e}}^{t_2\mathbf{X}}={\mathrm{e}}^{\left(t_1+t_2\right)\mathbf{X}}={\mathrm{e}}^{t_2\mathbf{X}}{\mathrm{e}}^{t_1\mathbf{X}}$ ,但一般地, ${\mathrm{e}}^{{\mathbf{X}}_1}{\mathrm{e}}^{{\mathbf{X}}_2}\ne$${\mathrm{e}}^{{\mathbf{X}}_2}{\mathrm{e}}^{{\mathbf{X}}_1}\ne {\mathrm{e}}^{{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{X}}_2}.$

• 特别地, ${\mathrm{e}}^{-t\mathbf{X}}{\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}={\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}{\mathrm{e}}^{-t\mathbf{X}}={\mathbf{I}}_{(n,n)}$ .

• ${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}|}_{t=0}={\mathbf{X}{\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}|}_{t=0}=\mathbf{X}$ .

因此,元素 ${\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}$ (对于固定的 $\mathbf{X}$ ) 对于矩阵乘法形成一个乘法群. 因为 $t\in \mathbb{R}$ , 所以矩阵 ${\mathrm{e}}^{tX}$ 形成一维群. 同时它是李群的最简单的例子. 我们将证明矩阵 $X$ 和 $tX$ 是属于这个李群的李代数的元素 (参见第 477 页 5.3.6.4). 于是指数函数生成李代数的元素形成的李群.

5.3.6.2 矩阵李群

对于矩阵李群不必一般地定义李群. 对于一般的李群必须引进可微流形, 在此则不需要. 对于矩阵李群, 下列的定义是重要的, 同时在进一步的讨论中主要的论题是一般线性群.

1. 一般线性群

(1)群 群 (参见第 451 页 5.3.3) 是一个具有映射

$$\begin{array}{}\text{(5.136a)}& G\times G\to G,\left(g,h\right)\mapsto g\ast h\end{array}$$

的集合, 这个映射称为群运算或群乘法, 有下列性质:

• 结合律: 对于每个 $g,h,k\in G$ ,

$$\begin{array}{}\text{(5.136b)}& g\ast \left(h\ast k\right)=\left(g\ast h\right)\ast k\end{array}$$

• 恒等元的存在性: 存在元素 $e\in G$ 使得对于每个 $g\in G$ ,

$$\begin{array}{}\text{(5.136c)}& g\ast e=e\ast g=g;\end{array}$$

• 逆元的存在性: 对于每个 $h\in G$ ,存在元素 $h\in G$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(5.136d)}& g\ast h=h\ast g=e.\end{array}$$

注 1 如果对于每个 $g,h\in G,g\ast h=h\ast g$ ,那么称群是交换的. 矩阵群在此认为是非交换的. 显然从定义可推出群的两个元素之积也属于这个群, 因此群对于群乘法是封闭的.

注 2 设 $M_n\left(\mathbb{R}\right)$ 是所有(n, n)实元素矩阵的向量空间. 显然 $M_n\left(\mathbb{R}\right)$ 关于矩阵乘法不是一个群,因为并非每个(n, n)矩阵都是可逆的.

(2)一般线性群的定义 所有实可逆(n, n)矩阵显然对于矩阵乘法形成一个群, 称为一般线性群,并且记为 $\mathrm{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ .

2. 矩阵李群

(1) 矩阵的收敛性 矩阵 ${\mathbf{A}}_m={\left(a_{kl}^{\left(m\right)}\right)}_{k,l=1}^n$ 的序列 ${\left\{{\mathbf{A}}_m\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ (其中 ${\mathbf{A}}_m\in$ $M_n\left(\mathbb{R}\right))$ 收敛于(n, n)矩阵 $\mathbf{A}$ ,如果每个元素序列 ${\left\{a_{kl}^{\left(m\right)}\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ 在实数收敛的意义下收敛于对应的矩阵元素 $a_{kl}$ .

(2) 矩阵李群的定义 矩阵李群是 $\mathrm{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 的具有下列性质的子群 $G$ : 设 ${\left\{{\mathbf{A}}_m\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是任意一个 $G$ 中矩阵的序列,在 $M_n\left(\mathbb{R}\right)$ 中收敛的意义下收敛于矩阵 $\mathbf{A}\in M_n\left(\mathbb{R}\right)$ ,那么或者 $\mathbf{A}\in G$ ,或者 $\mathbf{A}$ 不可逆.

这个定义也可用下列方式叙述: 矩阵李群是一个子群,它是 $\mathrm{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 的闭子集 (这并不意味着 $G$ 必须在 $M_n\left(\mathbb{R}\right)$ 中闭).

(3) 矩阵李群的维数 矩阵李群的维数定义为对应的李代数的维数 (参见第 477 页 5.3.6.4). 矩阵李群 $\mathrm{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 有维数 $n^2$ .

3. 连续群

矩阵李群也可以借助连续群 (见 [22.26], [5.18], [5.15]) 引进.

(1)定义 连续群是一个特殊的无限群,其元素唯一地由连续参数向量 $\underset{―}{\phi }=$ $\left({\phi }_1,{\phi }_2,\cdots ,{\phi }_n\right)$ 给出:

$$\begin{array}{}\text{(5.137)}& a=a\left(\underset{―}{\phi }\right).\end{array}$$

• ${\mathbb{R}}^2$ 中的旋转矩阵群 (参见第 308 页 (3.432)):

$$\begin{array}{}\text{(5.138)}& D=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)=a\left(\phi \right),0\le \phi \le 2\pi .\end{array}$$

群元素仅与一个实参数 $\phi$ 有关.

(2) 积 元素为 $a=a\left(\underset{―}{\phi }\right)$ 的连续群中两个元素 $a_1=a\left({\underset{―}{\phi }}_1\right),a_2=a\left({\underset{―}{\phi }}_2\right)$ 的积由

$$\begin{array}{}\text{(5.139a)}& a_1\ast a_2=a_3=a\left({\underset{―}{\phi }}_3\right)\end{array}$$

给出其中

$$\begin{array}{}\text{(5.139b)}& {\underset{―}{\phi }}_3=f\left({\underset{―}{\phi }}_1,{\underset{―}{\phi }}_2\right),\end{array}$$

这里 $f\left({\underset{―}{\phi }}_1,{\underset{―}{\phi }}_2\right)$ 的分量是连续可微函数.

如 (5.138) 中的两个旋转矩阵 $a=a\left({\phi }_1\right)$ 和 $a=a\left({\phi }_2\right)$ (其中 $0\le {\phi }_1,{\phi }_2\le 2\pi$ ) 之积是 $a_3=a\left({\phi }_1\right)\ast a\left({\phi }_2\right)=a\left({\phi }_3\right)$ ,其中 ${\phi }_3=f\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)={\phi }_1+{\phi }_2$ . 应用 Falk 格式 (参见第 366 页 4.1.4, 5.) 以及加法定理可得

$$\frac{a\left({\phi }_2\right)}{a\left({\phi }_1\right)\mid a\left({\phi }_3\right)=a\left({\phi }_1+{\phi }_2\right)},$$

或详细地,

		$\cos {\phi }_2$	$-\sin {\phi }_2$
		$\sin {\phi }_2$	$\cos {\phi }_2$
$\cos {\phi }_1$	$-\sin {\phi }_1$	$\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2$	$-\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2-\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2$
$\sin {\phi }_1$	$\cos {\phi }_1$	$\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2+\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2$	$-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2+\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2$

(3) 维数 参数向量 $\underset{―}{\phi }$ 是称作参数空间的向量空间的元素. 在这个参数空间中存在一个区域作为连续群的定义域, 将它称为群空间. 这个群空间的维数考虑为连续群的维数.

$◼\mathbf{A}$ : 实(n, n)可逆方阵的群有维数 $n^2$ ,因为方阵的每个元素都可考虑为参数.

$◼\mathbf{B}$ : (5.138) 中旋转矩阵群 (对于矩阵乘法) $D$ 有维数 1. 旋转矩阵是(2,2)型的,但它的 4 个元素只与一个参数 $\phi \left(0\le \phi \le 2\pi \right)$ 有关.

4. 李群

(1)李群的定义 李群是一个连续群, 其中群的所有元素是参数的连续函数.

(2)特殊的矩阵李群及其维数

$◼\mathbf{A}$: 旋转 $\mathbf{R}$ 的群 $\mathrm{SO}\left(n\right)$ 旋转 $\mathbf{R}$ 的群 $\mathrm{SO}\left(n\right)$ 用矩阵乘法依照 ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\mathbf{R}\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 作用在元素 $\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 上. $\mathrm{SO}\left(n\right)$ 是一个 $n\left(n-1\right)/2$ 维李群.

$◼\mathbf{B}$: 特殊欧几里得群 $\mathbf{SE}\left(n\right)$ 特殊欧几里得群 $\mathrm{SE}\left(n\right)$ 由元素 $g=\left(\mathbf{R},\overrightarrow{b}\right)$ 组成,其中 $\mathbf{R}\in \mathrm{SO}\left(n\right)$ ,以及 $\overrightarrow{b}\in {\mathbb{R}}^n$ ,并且群乘法 $g_1\circ g_2=\left({\mathbf{R}}_1{\mathbf{R}}_2,{\mathbf{R}}_1{\overrightarrow{b}}_2+{\overrightarrow{b}}_1\right)$ . 它依照

$$\begin{array}{}\text{(5.140)}& {\overrightarrow{x}}^{\prime }=\mathbf{R}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}\end{array}$$

作用于欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的元素. $\mathrm{SE}\left(n\right)$ 是 $n$ 维欧几里得空间中刚体运动群,是一个 $n\left(n+1\right)/2$ 维李群. $\mathrm{SE}\left(n\right)$ 的离散子群是,例如,晶体空间群即正则晶体格的对称群.

$◼\mathbf{C}$: 标度欧几里得群 $\mathrm{SIM}\left(n\right)$ 标度欧几里得群 $\mathrm{SIM}\left(n\right)$ 由所有的对 $\left({\mathrm{e}}^a\mathbf{R},\overrightarrow{b}\right)$ 组成,其中 $a\in \mathbb{R},\mathbf{R}\in \mathrm{SO}\left(n\right),\overrightarrow{b}\in {\mathbb{R}}^n$ ,群乘法 $g_1\circ g_2=\left({\mathrm{e}}^{a_1+a_2}{\mathbf{R}}_1{\mathbf{R}}_2,{\mathbf{R}}_1{\overrightarrow{b}}_2+{\overrightarrow{b}}_1\right)$ . 它通过平移、旋转和伸缩 (即伸长和收缩) 作用于 ${\mathbb{R}}^n$ 的元素:

$$\begin{array}{}\text{(5.141)}& {\overrightarrow{x}}^{\prime }={\mathrm{e}}^a\mathbf{R}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}.\end{array}$$

标度欧几里得群有维数 $1+n\left(n+1\right)/2$ .

$◼\mathbf{D}$: 实特殊线性群 $\mathrm{SL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 实特殊线性群 $\mathrm{SL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 由所有行列式为 +1 的 (实)(n, n)矩阵组成. 它通过旋转、畸变和切变以 ${\overrightarrow{x}}^{\prime }=\mathbf{L}\overrightarrow{x}$ 作用于 ${\mathbb{R}}^n$ 的元素,使得体积保持不变,并且平行线仍然保持平行. 其维数是 $n^2-1$ .

$◼\mathbf{E}$: 特殊仿射群 ${\mathbb{R}}^n$ 的特殊仿射群由所有的对 $\left({\mathrm{e}}^a\mathbf{L},\overrightarrow{b}\right)$ 组成,其中 $\mathbf{L}\in \mathrm{SL}\left(n\right)$ 及 $\overrightarrow{b}\in {\mathbb{R}}^n$ ,通过旋转、平移、切变、畸变和伸缩作用于 ${\mathbb{R}}^n$ 的个体. 这个李群是欧氏空间中最一般的将平行线映为平行线的形变群; 它有维数 $n\left(n+1\right)$ .

$◼\mathbf{F}$: 群 $\mathbf{SO}\left(\mathbf{2}\right)$ 群 $\mathrm{SO}\left(2\right)$ 刻画 ${\mathbb{R}}^2$ 中所有绕原点的旋转:

$$\begin{array}{}\text{(5.142)}& \mathrm{SO}\left(2\right)=\left\{\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right),\phi \in \mathbb{R}\right\}.\end{array}$$

$◼\mathbf{G}$: 群 $\mathbf{SL}\left(\mathbf{2}\right)$ SL(2)的每个元素可表示为

$$\begin{array}{}\text{(5.143)}& \left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{-t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1& \xi \\ 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{H}$: 群 $\mathbf{SE}\left(\mathbf{2}\right)$ 群 $\mathrm{SE}\left(2\right)$ 的元素可以表示为(3,3)矩阵:

$$\begin{array}{}\text{(5.144)}& \left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & x_1\\ \sin \theta & \cos \theta & x_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\text{ 其中 }\theta \in \mathbb{R},\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2.\end{array}$$

注 除实矩阵李群外,也可以考虑复矩阵李群. 例如, $\mathrm{SL}\left(n,\mathbb{C}\right)$ 是所有行列式为 +1 的复(n, n)矩阵形成的李群. 类似地,存在元素是四元数的矩阵李群.

5.3.6.3 重要应用

1. 刚体运动

群 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 是欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中的刚体运动群. 这就是它经常应用于机器人控制的原因. 通常定义下列 6 个独立的变换:

a) $x$ 方向平移;

b) $y$ 方向平移;

c) $z$ 方向平移;

d) 绕 $x$ 轴旋转;

e) 绕 $y$ 轴旋转;

f) 绕 $z$ 轴旋转.

这些变换可以通过应用于三维齐次坐标 (参见第 310 页 3.5.4.2) 的(4,4)矩阵来表示,即 ${(x,y,z)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^3$ 表示为具有 4 个坐标的向量(x, y, z,1).

对应于变换 $\mathrm{a})\sim \mathrm{f})$ 的矩阵是

$${\mathbf{M}}_1=\left(\begin{array}{llll}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_2=\left(\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_3=\left(\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& c\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$

(5.145a)

$${\mathbf{M}}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_5=\left(\begin{array}{cccc}\cos \beta & 0& \sin \beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),$$$$\begin{array}{}\text{(5.145b)}& {\mathbf{M}}_6=\left(\begin{array}{cccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0& 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

矩阵 ${\mathbf{M}}_4,{\mathbf{M}}_5,{\mathbf{M}}_6$ 刻画 ${\mathbb{R}}^3$ 中的旋转,因此 $\mathrm{SO}\left(3\right)$ 是 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 的子群. 群 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 如下地作用在有齐次坐标 ${(\overrightarrow{x},1)}^{\mathrm{T}}$ 的 $\overrightarrow{x}={(x,y,z)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^3$ 上:

$$\begin{array}{}\text{(5.146)}& \left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{x}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \overrightarrow{v}\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{x}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathbf{R}\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}\\ 1\end{array}\right),\end{array}$$

其中 $\mathbf{R}\in \mathrm{SO}\left(3\right)$ 是旋转, $\overrightarrow{v}={(a,b,c)}^{\mathrm{T}}$ 是平移向量.

2. 2维空间的仿射变换

2维空间的仿射变换群 $\mathrm{GA}\left(2\right)$ 是具有下列 6 个维的六维矩阵李群:

a) $x$ 方向平移;

b) $y$ 方向平移;

c) $z$ 方向平移;

d) 对于原点的伸长和收缩;

e) 切变 (对于 $y$ ,对于 $x$ 的伸长);

f) 与 (第)5(维) 有关的 ${45}^{\circ }$ 切变.

这些变换也可用 ${(x,y)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^2$ 的齐次坐标 ${(x,y,1)}^{\mathrm{T}}$ 的矩阵刻画:

$${\mathbf{M}}_1=\left(\begin{array}{lll}1& 0& a\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_2=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_3=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$

(5.147a)

$${\mathbf{M}}_4=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{\tau }& 0& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{\tau }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_5=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{\mu }& 0& 0\\ 0& {\mathrm{e}}^{-\mu }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$$$\begin{array}{}\text{(5.147b)}& {\mathbf{M}}_6=\left(\begin{array}{ccc}\cosh \nu & -\sinh \nu & 0\\ \sinh \nu & \cosh \nu & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

这个群以由 ${\mathbf{M}}_1$ 和 ${\mathbf{M}}_2$ 给出的平移群, ${\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2$ 和 ${\mathbf{M}}_3$ 给出的欧几里得群 $\mathrm{SE}\left(2\right)$ , 以及 ${\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2,{\mathbf{M}}_3,{\mathbf{M}}_4$ 给出的相似群作为本质子群.

应用 群 $\mathrm{GA}\left(2\right)$ 可用来刻画平面个体的所有这种变换: 在微小的角度形变下它被在 3 维空间中移动的照相机记录. 如果透视角也可能出现大的变化, 那么可应用群 $P\left(2\right)$ ,即所有射影空间变换的群. 矩阵李群由 ${\mathbf{M}}_1-{\mathbf{M}}_6$ 及另两个矩阵

$$\begin{array}{}\text{(5.147c)}& {\mathbf{M}}_7=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ \beta & 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{M}}_8=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& \gamma & 1\end{array}\right)\end{array}$$

生成. 这两个增加的群对应于水平线的变化或平面图形的边缘的消失.

5.3.6.4 李代数

1. 实李代数

实李代数是一个具有称作李括号的运算

$$\begin{array}{}\text{(5.148)}& \left[\cdot ,\cdot \right]:\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \mathcal{A}\end{array}$$

的实向量空间,这个运算具有下列性质: 对于所有 $a,b,c\in \mathcal{A}$ 有

• $\left[\cdot ,\cdot \right]$ 是线性的;

• $\left[a,b\right]=-\left[b,a\right]$ ,即这个运算是斜对称的或反对称的;

• 所谓雅可比恒等式成立 (作为丧失结合性的替代物)

$$\begin{array}{}\text{(5.149)}& \left[a,\left[b,c\right]\right]+\left[c,\left[a,b\right]\right]+\left[b,\left[c,a\right]\right]=0.\end{array}$$

显然 $\left[a,a\right]=0$ 成立.

2. 李括号

对于 (实)(n, n)矩阵 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ ,李括号由换位子给出,即

$$\begin{array}{}\text{(5.150)}& \left[\mathbf{X},\mathbf{Y}\right]=\mathbf{X}\mathbf{Y}-\mathbf{Y}\mathbf{X}.\end{array}$$

3. 特殊的李代数

存在与矩阵李群相伴的李代数.

(1) 函数 $g:\mathbb{R}\to \mathrm{GL}\left(n\right)$ 是 $\mathrm{GL}\left(n\right)$ 的单参数子群,如果

• $g$ 是连续的;

• $g\left(0\right)={\mathbf{I}}_{(n,n)};$

• 对所有 $t,s\in \mathbb{R},g\left(t+s\right)=g\left(t\right)g\left(s\right)$ .

特别地:

(2) 如果 $g$ 是 $\mathrm{GL}\left(n\right)$ 的单参数子群,那么存在一个唯一定义的矩阵 $\mathbf{X}$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(5.151)}& g\left(t\right)={\mathrm{e}}^{tX}\text{(参见第 472 页 5.3.6.1).}\end{array}$$

(3) 对于任何(n, n)矩阵 $\mathbf{A}$ ,对数 $\log \mathbf{A}$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(5.152)}& \log \mathbf{A}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{m+1}}{m}{(\mathbf{A}-\mathbf{I})}^m,\end{array}$$

如果这个级数收敛. 特别,当 $\parallel \mathbf{A}-\mathbf{I}\parallel <1$ 时此级数收敛.

4. 李群与李代数间的对应

矩阵李群与相伴的李代数间的对应如下.

(1) 设 $G$ 是矩阵群. $G$ 的李代数 (记作 $\mathbf{g}$ ) 是所有使得 ${\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}\in G$ (对所有实数 $t)$ 的矩阵 $\mathbf{X}$ 的集合.

在给定的矩阵李群中接近于单位矩阵的元素可以表示为 $g\left(t\right)={\mathrm{e}}^{t\mathbf{X}}$ ,其中 $\mathbf{X}\in$ $\mathbf{g}$ ,而 $t$ 接近于零. 如果指数映射是满射,例如当 $\mathrm{SO}\left(n\right)$ 和 $\mathrm{SE}\left(n\right)$ 情形,那么可以借助对应的李代数的元素的矩阵指数函数将群元素参数化. 矩阵 $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}{g}^{-1}$ 和 $g^{-1}\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}$ 分别称为 $g\in G$ 的切向量或切元素. 对 $t=0$ 计算这些元素,我们得到 $\mathbf{X}$ 本身,即 $\mathbf{g}$ 是恒等矩阵 $\mathbf{I}$ 的切空间 $T_{\mathbf{I}}G$ .

(2) 可以证明这样设计的李群的李代数也是抽象意义下的李代数.

设 $G$ 是一个矩阵李群,相伴矩阵李代数是 $\mathbf{g},\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 是 $\mathbf{g}$ 的元素. 那么:

• 对于任何实数 $s,s\mathbf{X}\in \mathbf{g}$ ;

• $\mathbf{X}+\mathbf{Y}\in \mathbf{g}$ ;

• $\left[\mathbf{X},\mathbf{Y}\right]=\mathbf{X}\mathbf{Y}-\mathbf{Y}\mathbf{X}\in \mathbf{g}$ . A: 与李群 $\mathrm{SO}\left(2\right)$ 相伴的李代数 $\mathrm{so}\left(2\right)$ 可以从元素用 $\mathrm{SO}\left(2\right)$ 的表示 $g\left(\theta \right)=$ $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ 借助于切元素算出:

$$\begin{array}{}\text{(5.153a)}& {\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\theta }{g}^{-1}|}_{\theta =0}={\left(\begin{array}{cc}-\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)|}_{\theta =0}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).\end{array}$$

因此,

$$\begin{array}{}\text{(5.153b)}& \mathrm{so}\left(2\right)=\left\{s\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),s\in \mathbb{R}\right\}.\end{array}$$

反之,从 $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(5.153c)}& {\mathrm{e}}^{s\mathbf{X}}=\cos s\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\sin s\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos s& -\sin s\\ \sin s& \cos s\end{array}\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 下列矩阵形成李代数 $\mathrm{so}\left(3\right)$ 的基:

$$\begin{array}{}\text{(5.154)}& {\mathbf{X}}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

注 指数映射 $\mathrm{so}\left(3\right)\to \mathrm{SO}\left(3\right)$ 和 $\mathrm{se}\left(3\right)\to \mathrm{SE}\left(3\right)$ 蕴涵 (多值) 对数函数的存在性. 不过这个对数函数可应用于插值.

例如,如果给定刚体运动 ${\mathbf{B}}_1,{\mathbf{B}}_2\in \mathrm{SE}\left(3\right)$ ,那么可以算出 $\log {\mathbf{B}}_1,\log {\mathbf{B}}_2$ 是李代数 $\mathrm{so}\left(3\right)$ 的元素. 于是取这些对数间的线性插值 $\left(1-t\right)\log {\mathbf{B}}_1+t\log {\mathbf{B}}_2$ ,然后应用指数映射以便由

$$\begin{array}{}\text{(5.155)}& \exp \left(\left(1-t\right)\log {\mathbf{B}}_1+t\log {\mathbf{B}}_2\right)\end{array}$$

得到刚体运动 ${\mathbf{B}}_1$ 和 ${\mathbf{B}}_2$ 间的插值.

$◼\mathbf{C}$ : 与矩阵李群 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 相伴的矩阵李代数 $\mathrm{se}\left(3\right)$ 由矩阵

$${\mathbf{E}}_1=\left(\begin{array}{llll}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_2=\left(\begin{array}{llll}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_3=\left(\begin{array}{llll}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

(5.156a)

$${\mathbf{E}}_4=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_5=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_6=\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

(5.156b)

生成.

5. 内积空间

如果适当地定义内积 (标量积), 那么对于给定的有限维矩阵李群总可能找到相伴李代数的正交基. 在此情形应用格拉姆-施密特正交化方法 (参见第 424 页 4.6.2.2, (4)可由李代数的任何一组基得到正交基.

在实矩阵李群的情形李代数由实矩阵组成, 所以内积由

$$\begin{array}{}\text{(5.157)}& \left(\mathbf{X},\mathbf{Y}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{Tr}\left(\mathbf{X}\mathbf{W}{\mathbf{Y}}^{\mathrm{T}}\right)\end{array}$$

给出,其中 $\mathbf{W}$ 是一个正定实对称矩阵.

$◼\mathbf{A}$: 刚体运动群 $\mathrm{SE}\left(2\right)$ 可以参数化为

$$\begin{array}{}\text{(5.158a)}& g\left(x_1,x_2,\theta \right)={\mathrm{e}}^{x_1{\mathbf{X}}_1+x_2{\mathbf{X}}_2}{\mathrm{e}}^{\theta {\mathbf{X}}_3}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & x_1\\ \sin \theta & \cos \theta & x_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(5.158b)}& {\mathbf{X}}_1=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_2=\left(\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

这里 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,{\mathbf{X}}_3$ 对于由权矩阵

$$\begin{array}{}\text{(5.158c)}& \left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\end{array}$$

给出的内积形成李代数 $\mathrm{se}\left(2\right)$ 的正交基.

$◼\mathbf{B}$: 李代数 $\mathrm{sl}\left(2,\mathbb{R}\right)$ 的一组基是

$$\begin{array}{}\text{(5.159)}& {\mathbf{X}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{X}}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{ 和 }{\mathbf{X}}_3=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).\end{array}$$

这些元素对于权矩阵 $\mathbf{W}={\mathbf{I}}_{(2,2)}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 形成正交基.

5.3.6.5 在机器人理论中的应用

1. 机器人运动

刻画 ${\mathbb{R}}^3$ 中机器人运动的特殊欧几里得群 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 是群 $\mathrm{SO}\left(3\right)$ (绕原点的旋转) 和 ${\mathbb{R}}^3$ (平移) 的半直接积:

$$\begin{array}{}\text{(5.160)}& \mathrm{SE}\left(3\right)=\mathrm{SO}\left(3\right)\times {\mathbb{R}}^3.\end{array}$$

在直接积中因子没有交互作用, 但这里是半直接积, 因为旋转在平移上的作用显然是从矩阵乘法得到

$$\begin{array}{}\text{(5.161)}& \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_2& {\overrightarrow{t}}_2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_1& {\overrightarrow{t}}_1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_2{\mathbf{R}}_1& {\mathbf{R}}_2{\overrightarrow{t}}_1+{\overrightarrow{t}}_2\\ 0& 1\end{array}\right),\end{array}$$

即加第二个平移向量前第一个平移向量已被旋转.

2. 沙勒定理

这个定理说每个不纯粹是平移的刚体运动可以刻画为 (有限的) 螺旋运动. 一个沿着经过原点的轴的 (有限的) 螺旋运动有形式

$$\begin{array}{}\text{(5.162a)}& A\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

其中 $\overrightarrow{x}$ 是旋转轴方向的单位向量, $\theta$ 是旋转角, $p$ 是角系数. 因为 $\overrightarrow{x}$ 是旋转轴,所以 $\mathbf{R}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$ ,即 $\overrightarrow{x}$ 是矩阵 $\mathbf{R}$ 属于单位特征值 1 的特征向量.

当旋转轴不经过原点,那么在旋转轴上选择一个点 $\overrightarrow{u}$ ,它被转移到原点,那么经螺旋运动后它被转回:

$$\begin{array}{}\text{(5.162b)}& \left(\begin{array}{ll}\mathbf{I}& \overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I}& -\overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}\right)\overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

沙勒定理告诉我们任意刚体运动可以用上面形式给出,即对于给定的 $\mathbf{R},\overrightarrow{t}$ 和适当的

$p$ 和 $\overrightarrow{u}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(5.163)}& \left(\begin{array}{ll}\mathbf{R}& \overrightarrow{t}\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

设从 $\mathbf{R}$ 已经知道旋转角 $\theta$ 和旋转轴 $\overrightarrow{x}$ ,那么有

$$\begin{array}{}\text{(5.164)}& \frac{\theta p}{2\pi }=\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{t}\end{array}$$

所以可以算出角系数 $p$ . 于是线性方程组

$$\begin{array}{}\text{(5.165)}& \left(\mathbf{I}-\mathbf{R}\right)\overrightarrow{u}=\frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}-\overrightarrow{t}\end{array}$$

的解给出 $\overrightarrow{u}$ . 这是奇异方程组,其中 $\overrightarrow{x}$ 是它的核. 因此除相差 $\overrightarrow{x}$ 的某个倍数外解 $\overrightarrow{u}$ 是唯一确定的. 为确定 $\overrightarrow{u}$ ,要求 $\overrightarrow{u}$ 垂直于 $\overrightarrow{x}$ 是合理的. 当刚体运动是纯粹的旋转时, 则不可能确定适当的向量 $\overrightarrow{u}$ .

3. 机械联结

一个自由度的联结可以由群 $\mathrm{SE}\left(3\right)$ 的单参数子群表示. 对于一般螺旋联结情

形对应的子群是

$$\begin{array}{}\text{(5.166)}& A\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}\right)\overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right),\end{array}$$

其中 $\overrightarrow{x}$ 是旋转轴, $\theta$ 是旋转角, $p$ 给出角系数,而 $\overrightarrow{u}$ 是旋转轴上的任意一点.

最常出现的一类联结是旋转联结, 它可以由下列子群刻画:

$$\begin{array}{}\text{(5.167)}& A\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \left(\mathbf{I}-\mathbf{R}\right)\overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

对应于移位联结的子群是

$$\begin{array}{}\text{(5.168)}& A\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I}& \theta \overrightarrow{t}\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

其中 $\overrightarrow{t}$ 刻画移位方向.

4. 前向运动学

工业机器人情形的目标是最终效应器的运动和控制, 这是由运动链的联结完成的. 如果所有的联结都是单参数的并且机器人 (例如) 由 6 个联结组成, 那么机器人的每个位置可以由联结变量 ${\overrightarrow{\theta }}^{\mathrm{T}}=\left({\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,{\theta }_4,{\theta }_5,{\theta }_6\right)$ 刻画. 机器人的输出状态由零向量刻画. 那么机器人的运动可这样刻画: 首先使最远的联结与最终效应器一起开动并且这个运动由矩阵 $A\left({\theta }_6\right)$ 给出. 现在使第 5 个联结开动. 因为这个联结的轴不可能受到最后一个联结的运动的影响,所以这个运动由矩阵 $A\left({\theta }_5\right)$ 给出. 于是使所有联结开动, 并且最终效应器的完整运动由

$$\begin{array}{}\text{(5.169)}& K\left(\overrightarrow{\theta }\right)=A_1\left({\theta }_1\right)A_2\left({\theta }_2\right)A_3\left({\theta }_3\right)A_4\left({\theta }_4\right)A_5\left({\theta }_5\right)A_6\left({\theta }_6\right)\end{array}$$

给出.

5. 向量积和李代数

螺旋运动由

$$\begin{array}{}\text{(5.170)}& A\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{R}& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}+\left(\mathbf{I}-\mathbf{R}\right)\overrightarrow{u}\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

给出,并且它表示通过角 $\theta$ 参数化的刚体运动. 显然, $\theta =0$ 给出恒等变换. 如果算出在 $\theta =0$ 时的导数,即当恒等变换时的导数,那么李代数的一般元素如下:

$$\begin{array}{}\text{(5.171a)}& S={\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}\theta }|}_{\theta =0}={\left(\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}}{\mathrm{d}\theta }& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}}{\mathrm{d}\theta }\overrightarrow{u}\\ 0& 0\end{array}\right)|}_{\theta =0}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \frac{\theta p}{2\pi }\overrightarrow{x}-\mathbf{\Omega }\overrightarrow{u}\\ 0& 0\end{array}\right),\end{array}$$

其中 $\mathbf{\Omega }=\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}}{\mathrm{d}\theta }\left(0\right)$ 是斜对称矩阵. 可以证明 $\mathbf{R}$ 是正交矩阵,那么有 $\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I}$ 以及 ${\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}\mathbf{R}=\mathbf{I}$ ,因而

$$\begin{array}{}\text{(5.171b)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\mathbf{R}{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}\right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}}{\mathrm{d}\theta }{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{R}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}}{\mathrm{d}\theta }=\frac{\mathrm{d}\mathbf{I}}{\mathrm{d}\theta }=\mathbf{0}.\end{array}$$

因为当 $\theta =0$ 时 $\mathbf{R}=\mathbf{I}$ ,所以

$$\begin{array}{}\text{(5.171c)}& \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}}{\mathrm{d}\theta }\left(0\right)+\frac{\mathrm{d}{\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}}{\mathrm{d}\theta }\left(0\right)=\mathbf{0}.\end{array}$$

于是每个斜对称矩阵

$$\begin{array}{}\text{(5.171d)}& \mathbf{\Omega }=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right)\end{array}$$

可以等同于向量 ${\overrightarrow{\omega }}^{\mathrm{T}}=\left({\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z\right)$ . 这样,用矩阵 $\mathbf{\Omega }$ 乘任何三维向量 $\overrightarrow{p}$ 对应于与向量 $\overrightarrow{\omega }$ 的向量积:

$$\begin{array}{}\text{(5.171e)}& \mathrm{\Omega }\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{p}\end{array}$$

从而 $\overrightarrow{\omega }$ 是辐角为 $\omega$ 的刚体运动的角速度. 因此李代数 $\mathbf{se}\left(3\right)$ 的一般元素有形式

$$\begin{array}{}\text{(5.171f)}& \mathbf{S}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \overrightarrow{v}\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

这些矩阵形成一个六维向量空间, 它们通常等同于形如

$$\begin{array}{}\text{(5.172)}& \overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{\omega }\\ \overrightarrow{v}\end{array}\right)\end{array}$$

的六维向量.