15.5.5 加博变换

时域分析是当其频率出现时, 对包含频率和时间周期的信号的表征. 因此, 信号被分成时间段 (窗口), 且使用傅里叶变换, 称为窗口傅里叶变换 (WFT).

应选取窗函数使得仅在窗口中分析信号. 加博变换运用窗函数

$$\begin{array}{}\text{(15.157)}& g\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2{\sigma }^2}}\text{ (图 15.29). }\end{array}$$

该选择可解释为: 带有 “全单位质量” 的 $g\left(t\right)$ 集中在点 $t=0$ 处,且窗口的宽度可视为常数 (约为 $2\sigma$ ).

则函数 $f\left(t\right)$ 的加博变换形如

$$\begin{array}{}\text{(15.158)}& \mathcal{G}f\left(\omega ,s\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)g\left(t-s\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t.\end{array}$$

由此可确定,出现在 $f$ 时间区间 $\left[s-\sigma ,s+\sigma \right]$ 内主波 (基波) ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$ 的复振幅,即在该区间内若有频率 $\omega$ ,则它有振幅 $\left|\mathcal{G}f\left(\omega ,s\right)\right|$ .