12.5.2 巴拿赫空间中的连续线性算子

现在假定 $X$ 和 $Y$ 是巴拿赫空间.

1. 巴拿赫-施泰因豪斯 (Steinhaus) 定理 (一致有界性原理)

这个定理是说,如果线性连续算子序列 $T_n$ 满足条件:

a) 对于几乎处处稠子集 $D\subset X$ 的每一点 $x$ ,序列 $\left\{T_{n}x\right\}$ 在 $Y$ 中有极限;

b) 存在一常数 $C$ 所得 $\Vert \begin{array}{c}{T}_n\end{array}\Vert \le C,\mathrm{\forall }n$ ; 那么序列 $T_n$ 点点收敛于某个线性连续算子.

2. 开映射定理

这个定理告诉我们,从 $X$ 到 $Y$ 的线性连续算子映射 $T$ 是开的,即 $X$ 中每个开集 $G\subset X$ 的像集 $T\left(G\right)$ 是 $Y$ 中的开集.

3. 闭图像定理

算子 $T:D_T\to Y$ (其中 $D_T\subset X$ ) 称作闭的,是指若 $x_n\in D_T$ ,在 $X$ 中 $x_n\to x_0$ ,并且在 $Y$ 中 $T{x}_n\to y_0$ ,则 $T{x}_0=y_0$ . 算子 $T$ 是闭的充分必要条件是算子 $T$ 在空间 $X\times Y$ 中的图像,即

$$\begin{array}{}\text{(12.147)}& {\mathrm{\Gamma }}_T=\left\{\left(x,Tx\right):x\in D_T\right\}\end{array}$$

是闭的,这里(x, y)表示集合 $X\times Y$ 的元.

如果闭算子 $T$ 的定义域 $D_T$ 是闭的,则 $T$ 是连续的.

4. 黑林格-特普利茨 (Hellinger-Toeplitz) 定理

设 $T$ 是希尔伯特空间 $H$ 中的线性算子. 如果 $\left(x,Ty\right)=\left(Tx,y\right)\mathrm{\forall }x,y\in H$ , 那么 $T$ 是连续的 (其中(x, Ty)表示 $H$ 中的标量积).

5. 正线性算子的克莱因-洛桑诺夫斯基 (Losanovskij) 定理

如果 $X=\left(X,X_{+},\parallel \cdot \parallel \right)$ 和 $Y=\left(Y,Y_{+},\parallel \cdot \parallel \right)$ 是有序赋范空间,其中 $X_{+}$ 是生成锥,那么所有正线性连续算子 $T($ 即 $T{X}_{+}\subset Y_{+})$ 的集合 $L_{+}\left(X,Y\right)$ 是 $L\left(X,Y\right)$ 中一个锥. 克莱因和洛桑诺夫斯基定理断定 (参见 [12.20]): 如果 $X$ 和 $Y$ 是有序巴拿赫空间, $X_{+}$ 和 $Y_{+}$ 是闭锥,并且 $X_{+}$ 是生成锥,那么线性算子的正性意味着连续性.

6. 逆算子

设 $X$ 和 $Y$ 是任意两个赋范空间,并设 $T:X\to Y$ 是线性但不必连续的算子. 如果 $T\left(X\right)=Y$ ,并且存在常数 $m>0$ 使得 $\parallel Tx\parallel \ge m\parallel x\parallel ,\mathrm{\forall }x\in X$ ,那么 $T$ 有连续逆 $T^{-1}:Y\to X$ ,并且 $\Vert \begin{array}{c}{T}^{-1}\end{array}\Vert \le \frac{1}{m}$ . 这里考虑的情形是 (12.22) 中的一个特例 (参见第 861 页 12.1.5.2),因为在那里可以是 $D\ne X$ 和 $\mathcal{R}\left(T\right)\ne Y$ .

在巴拿赫空间 $X$ 和 $Y$ 情形下,成立如下定理.

7. 逆算子连续性的巴拿赫定理

如果 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性连续双射算子,那么逆算子 $T^{-1}$ 也是连续的.

这个定理的一个重要应用是,例如,只要 $\lambda I-T$ 是双射和满射, ${(\lambda I-T)}^{-1}$ 必定是连续的. 这一事实在研究算子谱时具有重要意义 (参见第 889 页 12.5.3.2). 它也可应用于线性微分方程初值问题解对于右端项和初始数据的连续依赖性.

8. 解对于右端项和初始数据的连续依赖性

下面的例子说明这一事实.

$◼$ 考虑初值问题

$$\begin{array}{}\text{(12.148a)}& \ddot{x}\left(t\right)+p_1\left(t\right)\dot{x}+p_2\left(t\right)x=q\left(t\right),t\in \left[a,b\right],x\left(t_0\right)=\xi ,{\dot{x}}_n\left(t_0\right)=\dot{\xi },\end{array}$$

其中 $t_0\in \left[a,b\right],p_1\left(t\right),p_2\left(t\right)\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ ,那么对于每个右端项 $q\left(t\right)\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和每一对数 $\xi ,\dot{\xi },\left(12.148\mathrm{a}\right)$ 正好有一个解 $x$ 属于 ${\mathcal{C}}^2\left(\left[a,b\right]\right)$ . 解 $x$ 在如下意义下连续依赖于 $q\left(t\right),\xi$ 和 $\dot{\xi }$ : 如果给定 $q_n\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),{\xi }_n,{\dot{\xi }}_n\in {\mathbb{R}}^1$ ,并且 $x_n\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 表示

$$\begin{array}{}\text{(12.148b)}& {\ddot{x}}_n\left(t\right)+p_1\left(t\right){\dot{x}}_n+p_2\left(t\right)x_n\left(t\right)=q_n\left(t\right),x_n\left(a\right)={\xi }_n,{\dot{x}}_n\left(a\right)={\dot{\xi }}_n\end{array}$$

的解, $n=1,2,\cdots$ ,那么,

$$\begin{array}{}\text{(12.148c)}& \begin{array}{rl}{q}_n\left(t\right)& \to q\left(t\right)\text{ 在 }\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)\text{ 中 }\\ {\xi }_n& \to \xi \\ {\dot{\xi }}_n& \to \dot{\xi }\end{array}\}\text{ 蕴涵 }{x}_n\to x\text{ 在 }{\mathcal{C}}^2\left(\left[a,b\right]\right)\text{ 中. }\end{array}$$

9. 逐次逼近法

考虑求解形如方程

$$\begin{array}{}\text{(12.149)}& x-Tx=y\end{array}$$

的逐次逼近法,其中 $T$ 是巴拿赫空间 $X$ 中的连续线性算子, $y$ 是给定元. 这一方法从任意初始元 $x_0$ 开始,并通过公式

$$\begin{array}{}\text{(12.150)}& x_{n+1}=y+T{x}_n\left(n=0,1,\cdots \right)\end{array}$$

构建近似解序列 $\left\{x_n\right\}$ . 这个序列在 $X$ 中收敛于 (12.149) 的解 $x^{\ast }$ . 这一方法的收敛,即 $x_n\to x^{\ast }$ ,是基于级数 (12.144) 在 $\lambda =1$ 时的收敛.

设 $\parallel T\parallel \le q<1$ ,那么如下结论成立:

a) 算子 $I-T$ 有连续逆算子, $\Vert \begin{array}{c}{(I-T)}^{-1}\end{array}\Vert \le \frac{1}{1-q}$ ,并且对于每一 $y$ 方程 (12.149) 恰有一个解.

b) 级数 (12.144) 收敛,并且其和正好是算子 ${(I-T)}^{-1}$ .

c) 对于任意初始元 $x_0$ ,如果级数 (12.144) 收敛,则方法 (12.150) 收敛于 (12.149) 的唯一解 $x^{\ast }$ ,并且有如下估计:

$$\begin{array}{}\text{(12.151)}& \Vert \begin{array}{c}{x}_n-x^{\ast }\end{array}\Vert \le \frac{q^n}{1-q}\Vert \begin{array}{c}T{x}_0-x_0\end{array}\Vert \left(n=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

如下类型的方程

$$\begin{array}{}\text{(12.152)}& x-\mu Tx=y,\lambda x-Tx=y,\mu ,\lambda \in \mathbb{F}\end{array}$$

可以用类似的方法处理 (参见第 821 页 11.2.2 以及 [12.9]).