12.5.3 线性算子谱理论初步

12.5.3.1 算子的预解集和预解式

为了研究方程的可解性, 人们试图把问题改写成形式

$$\begin{array}{}\text{(12.153)}& \left(I-T\right)x=y,\end{array}$$

其中 $T$ 是可能具有小范数的算子. 由于 (12.43) 和 (12.44),这种形式特别适于应用泛函分析方法. 为了也能处理大值 $\parallel T\parallel$ ,有必要在复巴拿赫空间中研究整个方程族

$$\begin{array}{}\text{(12.154)}& \left(\lambda I-T\right)x=y,x\in X,\lambda \in \mathbb{C}.\end{array}$$

设 $T$ 是巴拿赫空间 $X$ 中线性但未必有界的算子. 所有使得 ${(\lambda I-T)}^{-1}\in$ $B\left(X\right)=L\left(X\right)$ 的复数 $\lambda$ 的集合 $\varrho \left(T\right)$ 称作预解集,而算子 $R_{\lambda }=R_{\lambda }\left(T\right)=(\lambda I-$ $T{)}^{-1}$ 则称作预解式. 现在设 $T$ 是巴拿赫空间 $X$ 中有界线性算子. 那么下列命题成立:

a) 集合 $\varrho \left(T\right)$ 是开的. 更确切地说,如果 ${\lambda }_0\in \varrho \left(T\right)$ 和 $\lambda \in \mathbb{C}$ 满足不等式

$$\begin{array}{}\text{(12.155)}& \left|\lambda -{\lambda }_0\right|\le \frac{1}{\Vert \begin{array}{c}{R}_{{\lambda }_0}\end{array}\Vert },\end{array}$$

那么 $R_{\lambda }$ 存在,并且

$$\begin{array}{}\text{(12.156)}& R_{\lambda }=R_{{\lambda }_0}+\left(\lambda -{\lambda }_0\right)R_{{\lambda }_0}^2+{(\lambda -{\lambda }_0)}^2{R}_{{\lambda }_0}^3+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(\lambda -{\lambda }_0)}^{k-1}{R}_{{\lambda }_0}^k.\end{array}$$

**b) $\{\ast \ast \lambda \in \mathbb{C}:\left|\lambda \right|>\parallel T\parallel \}\subset \varrho \left(T\right)$ . 更确切地说, $\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{C},\left|\lambda \right|>\parallel T\parallel$ ,算子 $R_{\lambda }$ 存

在, 并且

$$\begin{array}{}\text{(12.157)}& R_{\lambda }=-\frac{1}{\lambda }-\frac{T}{{\lambda }^2}-\frac{T^2}{{\lambda }^3}-\cdots .\end{array}$$

c) 如果 $\lambda \to {\lambda }_0\left(\lambda ,{\lambda }_0\in \varrho \left(T\right)\right)$ ,则 $\Vert \begin{array}{c}{R}_{\lambda }-R_{{\lambda }_0}\end{array}\Vert \to 0$ ,而如果 $\lambda \to \mathrm{\infty }\left(\lambda \in \varrho \left(T\right)\right)$ , 则 $\Vert \begin{array}{c}{R}_{\lambda }\end{array}\Vert \to 0$ .

d) 如果 $\lambda \to {\lambda }_0$ ,则 $\Vert \begin{array}{c}\frac{R_{\lambda }-R_{{\lambda }_0}}{\lambda -{\lambda }_0}-R_{{\lambda }_0}^2\end{array}\Vert \to 0$ .

e) 对于任意泛函 $f\in X^{\ast }$ (参见第 890 页 12.5.4.1) 和任意 $x\in X$ ,函数 $F\left(\lambda \right)=$ $f\left(R_{\lambda }\left(x\right)\right)$ 在 $\varrho \left(T\right)$ 上是正则的.

f) 对于任意 $\lambda ,\mu \in \varrho \left(T\right),\lambda \ne \mu$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.158)}& R_{\lambda }{R}_{\mu }=R_{\mu }{R}_{\lambda }=\frac{R_{\lambda }-R\mu }{\lambda -\mu }.\end{array}$$

12.5.3.2 算子的谱

1. 谱的定义

集合 $\sigma \left(T\right)=\mathbb{C}\setminus \varrho \left(T\right)$ 称作算子 $T$ 的谱. 由于 $I-T$ 有连续逆 (因此 (12.153) 有连续依赖于右端的解),当且仅当 $1\in \varrho \left(T\right)$ ,从而对谱 $\sigma \left(T\right)$ 必须有尽可能多的了解. 从预解集的性质直接可知谱 $\sigma \left(T\right)$ 是闭集,并位于圆盘 $\{\lambda \in \mathbb{C}:\left|\lambda \right|\le \parallel T\parallel \}$ ,然而在很多情形下, $\sigma \left(T\right)$ 比这个圆盘要小得多. 复巴拿赫空间上任意一个线性连续算子的谱绝不会是空集, 并且

$$\begin{array}{}\text{(12.159)}& r\left(T\right)=\underset{\lambda \in \sigma \left(T\right)}{sup}\left|\lambda \right|\end{array}$$

对于各种特殊类型算子的谱可以说得更多些. 如果 $T$ 是有穷维空间 $X$ 中的算子,并且方程 $\left(\lambda I-T\right)x=0$ 仅有平凡解 (即 $\lambda I-T$ 是内射),那么 $\lambda \in \varrho \left(T\right)$ (即 $\lambda I-T$ 是满射). 如果该方程在某个巴拿赫空间中有非平凡解,那么算子 $\lambda I-T$ 不是满射,并且 ${(\lambda I-T)}^{-1}$ 一般是无法定义的.

数 $\lambda \in \mathbb{C}$ 称作线性算子 $T$ 的本征值,是指方程 $\lambda x=Tx$ 有非平凡解. 所有这些非平凡解称作本征向量,或当 $X$ 是函数空间 (这在应用中常常出现) 时,称作算子 $T$ 的与 $\lambda$ 相关的本征函数. 由这些本征向量张成的子空间称作与 $\lambda$ 相关的本征空间 (或特征空间). $T$ 的所有本征值的集合 ${\sigma }_p\left(T\right)$ 称作算子 $T$ 的点谱.

2. 与线性代数比较、剩余谱

线性代数中考虑的有穷维情形与泛函分析中讨论的无穷维情形之间的本质区别在于,在前者, $\sigma \left(T\right)={\sigma }_p\left(T\right)$ 始终成立,而在后者,谱通常还包括不是 $T$ 的本征值的点. 如果 $\lambda I-T$ 既是内射又是满射,那么根据逆算子的连续性定理 (参见第 887页 12.5.2,7.), $\lambda \in \varrho \left(T\right)$ . 在有穷维情形,满射性自动从内射性推出,而无穷维情形则完全不一样, 必须以非常不同的方式处理.

$\sigma \left(T\right)$ 中所有使得 $\lambda I-T$ 为内射并且 $\mathrm{Im}\left(\lambda I-T\right)$ 在 $X$ 中稠的 $\lambda$ 构成的集合 ${\sigma }_c\left(T\right)$ 称作连续谱,而所有使得 $\lambda I-T$ 为内射但其值域在 $X$ 中不稠的 $\lambda$ 构成的集合 ${\sigma }_r\left(T\right)$ 称作算子 $T$ 的剩余谱.

对于复巴拿赫空间 $X$ 中的有界线性算子 $T$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.160)}& \sigma \left(T\right)={\sigma }_p\cup {\sigma }_c\left(T\right)\cup {\sigma }_r\left(T\right),\end{array}$$

其中右端各项两两不相交.