12.5.4 连续线性泛函

12.5.4.1 定义

当 $Y=\mathbb{F}$ 时,线性映射称作线性泛函,或线性型. 在下面的讨论中,对于希尔伯特空间, 考虑复情形; 而在其他情形, 几乎都是考虑实情形. 所有连续线性泛函的巴拿赫空间 $L\left(X;\mathbb{F}\right)$ 称作 $X$ 的伴随空间或对偶空间,记作 $X^{\ast }$ (有时也记作 $X^{\prime }$ ). 线性泛函 $f\in X^{\ast }$ 在 $x\in X$ 处 (在 $\mathbb{F}$ 中) 的值记作 $f\left(x\right)$ ,往往也记作(x, f)——强调 $X$ 和 $X^{\ast }$ 的双线性关系——也可比较里斯定理 (参见 12.5.4.2).

$◼\mathbf{A}$: 设 $t_1,t_2,\cdots ,t_n$ 是区间 $\left[a,b\right]$ 的固定点. 而 $c_1,c_2,\cdots ,c_n$ 是实数. 公式

$$\begin{array}{}\text{(12.161)}& f\left(x\right)=\sum _{k=1}^n{c}_{k}x\left(t_k\right)\end{array}$$

定义空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 上一连续线性泛函; $f$ 的范数是 $\parallel f\parallel =\sum _{k=1}^n\left|c_k\right|$ . (12.161) 在一个固定点 $t\in \left[a,b\right]$ 情形下的特例是 $\delta$ 泛函

$$\begin{array}{}\text{(12.162)}& {\delta }_t\left(x\right)=x\left(t\right)\left(x\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 设 $\phi \left(t\right)$ 是 $\left[a,b\right]$ 上的可积函数,那么

$$\begin{array}{}\text{(12.163)}& f\left(x\right)={\int }_a^b\phi \left(t\right)x\left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}$$

在 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 和 $\mathcal{B}\left(\left[a,b\right]\right)$ 上都是连续线性泛函,并且两种情形下 $f$ 的范数都是 $\parallel f\parallel =$${\int }_a^b\left|\phi \left(t\right)\right|\mathrm{d}t$

12.5.4.2 希尔伯特空间中连续线性泛函、里斯表示定理

设 $H$ 为一希尔伯特空间,其标量积为 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ ,那么每一元 $y\in H$ 由公式 $f\left(x\right)=$ (x, y)定义一连续线性泛函,其范数为 $\parallel f\parallel =\parallel y\parallel$ . 反之,如果 $f$ 是 $H$ 上一连续线性泛函,那么存在唯一元 $y\in H$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.164)}& f\left(x\right)=\left(x,y\right),x\in H,\end{array}$$

其中 $\parallel f\parallel =\parallel y\parallel$ . 这就是里斯表示定理. 根据这个定理,空间 $H$ 和 $H^{\ast }$ 等距同构, 可以认为是等同.

里斯表示定理暗示我们如何在任意赋范空间中引进正交概念. 设 $A\subset X,A^{\ast }\subset$ $X^{\ast }$ . 那么集合

$$A^{\mathrm{\perp }}=\{f\in X:f\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in A\}\text{ 和 }{A}^{\ast \mathrm{\perp }}=\left\{x\in X:f\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }f\in A^{\ast }\right\}$$

(12.165)

分别称作 $A$ 和 $A^{\ast }$ 的正交补.

12.5.4.3 $L^p$ 中连续线性泛函

设 $p\ge 1$ . 数 $q$ 称作 $p$ 的共轭指数,是指 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ,这里假定当 $p=1$ 时 $q=\mathrm{\infty }$ .

基于赫尔德积分不等式 (参见第 40 页 1.4.2.12),也可以在空间 $L^p\left(\left[a,b\right]\right)$ 中 $\left(1\le p\le \mathrm{\infty }\right)$ (参见第 910 页 12.9.4) 考虑泛函 (12.163),这里 $\phi \in L^q\left(\left[a,b\right]\right)$ 并且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ . 于是其范数是

$$\begin{array}{}\text{(12.166)}& \parallel f\parallel =\parallel \phi \parallel =\{\begin{array}{ll}{\left({\int }_a^b{\left|\phi \right|}^q\mathrm{d}t\right)}^{\frac{1}{q}},& 1<p\le \mathrm{\infty },\\ \mathrm{ess}\underset{t\in \left[a,b\right]}{sup}\left|\phi \right|,& p=1\end{array}\end{array}$$

(关于 $\mathrm{ess}sup\left|\phi \right|$ 的定义,参见第 910 页 (12.221)). 对于空间 $L^p\left(\left[a,b\right]\right)$ 中的连续线性泛函 $f$ ,存在唯一 (按等价类) 确定的元 $y\in L^q\left(\left[a,b\right]\right)$ 使得

$$f\left(x\right)=\left(x,y\right)={\int }_a^{b}x\left(t\right)\overline{y\left(t\right)}\mathrm{d}t,x\in L^p\text{ 和 }\parallel f\parallel =\parallel y{\parallel }_q={\left({\int }_a^b{\left|y\left(t\right)\right|}^q\mathrm{d}t\right)}^{\frac{1}{q}}.$$

(12.167)

至于 $p=\mathrm{\infty }$ 情形,见 [12.18].