4.1.1 矩阵的概念

1. 大小为(m, n)的矩阵 $\mathbf{A}$ 或 (简记) ${\mathbf{A}}_{(m,n)}$

矩阵 ${\mathbf{A}}_{(m,n)}$ 是一个排列为 $m$ 行和 $n$ 列的 $m\times n$ 个元素 (例如,实数或复数, 或函数、导数、向量) 的系统:(4.1)

借助矩阵的大小的概念将矩阵分类: 依据行数 $m$ 和列数 $n$ ,称 $\mathbf{A}$ 是大小为 (m, n)的矩阵. 若一个矩阵行数与列数相等,则将它称为方阵,不然称为长方阵.

2. 实矩阵和复矩阵

实矩阵有实元素, 复矩阵有复元素. 如果一个矩阵有复元素

$$\begin{array}{}\text{(4.2a)}& a_{\mu \nu }+\mathrm{i}{b}_{\mu \nu },\end{array}$$

那么它可以分解为

$$\begin{array}{}\text{(4.2b)}& A+\mathrm{i}B\end{array}$$

的形式,其中 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 只有实元素 (算术运算参见第 365 页 4.1.4). 如果矩阵 $\mathbf{A}$ 有复元素,那么它的共轭复矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 有元素

$$\begin{array}{}\text{(4.2c)}& a_{\mu \nu }^{\ast }=\mathrm{Re}\left(a_{\mu \nu }\right)-\mathrm{i}\mathrm{Im}\left(a_{\mu \nu }\right).\end{array}$$

3. 转置矩阵 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$

互换(m, n)矩阵 $\mathbf{A}$ 的行和列就给出转置矩阵 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ ,它是大小为(n, m)的矩阵, 并且有

$$\begin{array}{}\text{(4.3)}& {\left(a_{\nu \mu }\right)}^{\mathrm{T}}=\left(a_{\mu \nu }\right).\end{array}$$

4. 共轭转置矩阵

复矩阵 $\mathbf{A}$ 的共轭转置矩阵 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}$ 是它的共轭复矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的转置:

$$\begin{array}{}\text{(4.4)}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}={\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

(不要将它与伴随矩阵 ${\mathbf{A}}_{\text{adj }}$ 混淆,参见第 373 页 4.2.2).

5. 零矩阵

仅有零元素的矩阵

$$\begin{array}{}\text{(4.5)}& \mathbf{0}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\end{array}$$

称为零矩阵.