1.6.1 把代数方程变换为正规形式

1.6.1.1 定义

等式

$$\begin{array}{}\text{(1.142)}& F\left(x\right)=f\left(x\right)\end{array}$$

中的变量 $x$ 称为未知量,若等式只对变量的某些值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 成立,这些值称为方程的解或方程的根. 如果两个方程有完全相同的根, 则称其是等价的.

方程称为代数方程,如果函数 $F\left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 是代数的,即它们是有理式或无理式; 当然, 其中之一也可为常数. 通过代数变换任意代数方程可转化为正规形式

$$\begin{array}{}\text{(1.143)}& P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0.\end{array}$$

原方程的根在正规形式的根中出现, 但有些情况下, 一些根是多余的. 通常把首项系数 $a_n$ 化为 1 .

指数 $n$ 称为方程的次数.

• 求方程 $\frac{x-1+\sqrt{x^2-6}}{3\left(x-2\right)}=1+\frac{x-3}{x}$ 的正规形式. 逐步进行变换:

$$x\left(x-1+\sqrt{x^2-6}\right)=3x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)\left(x-3\right),$$$$x^2-x+x\sqrt{x^2-6}=3x^2-6x+3x^2-15x+18,$$$$x\sqrt{x^2-6}=5x^2-20x+18,x^2\left(x^2-6\right)=25x^4-200x^3+580x^2-720x+324,$$$$24x^4-200x^3+586x^2-720x+324=0.$$

结果是四次正规形式方程.

1.6.1.2 $n$ 次代数方程组

任一代数方程组可变换为正规形式, 即变换为多项式方程组:

$$\begin{array}{}\text{(1.144)}& P_1\left(x,y,z,\cdots \right)=0,P_2\left(x,y,z,\cdots \right)=0,\cdots ,P_n\left(x,y,z,\cdots \right)=0.\end{array}$$

$P_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是关于 $x,y,z,\cdots$ 的多项式.

$◼$ 求方程组的正规形式: ① $\frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{1}{z}$ , ② $\frac{x-1}{y-1}=\sqrt{z}$ , ③ $xy=z$ .

正规形式是:① $x^2{z}^2-y=0$ , ② $x^2-2x+1-y^{2}z+2yz-z=0$ , ③ $xy-z=0$ .

1.6.1.3 增根

把代数方程变换为正规形式 (1.143) 后,可能会出现方程 $P\left(x\right)=0$ 的某些根不是原方程 (1.142) 的解. 必须把方程 $P\left(x\right)=0$ 的根代入原方程进行检验,以确定其是否真正是 (1.142) 式的解.

若进行非可逆变换, 则会出现增根.

1. 去分母

若方程形如

$$\begin{array}{}\text{(1.145a)}& \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0,\end{array}$$

其中, $P\left(x\right)$ 和 $Q\left(x\right)$ 为多项式,则乘以分母 $Q\left(x\right)$ 后,(1.145a) 式的正规形式是

$$\begin{array}{}\text{(1.145b)}& P\left(x\right)=0\text{.}\end{array}$$

(1.145b) 的根与 (1.145a) 的根是相同的,除了分子和分母的公共根,即满足 $P\left(x\right)=$ 0 和 $Q\left(x\right)=0$ 的根. 若 $x=\alpha$ 是分母的根,则在 $x=\alpha$ 时,乘以 $Q\left(x\right)$ 等于乘以 0. 只要进行非恒等变换, 就必须检验方程的解 (参见第 56 页 1.6.3.1).

• $\frac{x^3}{x-1}=\frac{1}{x-1}$ . 对应的正规形式是 $x^4-x^3-x+1=0.x_1=1$ 是正规形式的解,但不是原方程的解,因为 $x=1$ 时,分式无意义.

2. 无理方程

若原方程含有根式, 通常进行乘方得到正规形式. 比如, 平方运算就不是恒等变换 (因为它是不可逆的).

$\sqrt{x+7}+1=2x$ 或 $\sqrt{x+7}=2x-1$ . 对二次根式方程两边同时平方,其正规形式是 $4x^2-5x-6=0$ ,根是 $x_1=2$ 和 $x_2=-\frac{3}{4}$ . 根 $x_1=2$ 是原方程的解,而根 $x_2=-\frac{3}{4}$ 则不是原方程的解.