2.12.1 尼科梅德斯蚌线

尼科梅德斯(Nicomedes)蚌线(图 2.62) 是满足

$$\begin{array}{}\text{(2.232)}& \overline{OP}=\overline{OM}\pm l\end{array}$$

的点 $P$ 的环形线,其中 $M$ 为直线 $\overline{O{P}_{1}O{P}_2}$ 与渐近线 $x=a$ 的交点. 相对于渐近线, 曲线的右分支符号取 “+”, 左分支取 “-”. 尼科梅德斯蚌线的笛卡儿坐标、参数方程和极坐标方程分别为

$$\begin{array}{}\text{(2.233a)}& {(x-a)}^2\left(x^2+y^2\right)-l^2{x}^2=0\left(a>0,l>0\right),\end{array}$$$$x=a+l\cos \phi ,y=a\tan \phi +l\sin \phi$$$$\begin{array}{}\text{(2.233b)}& \left(a>0\text{,右分支:}-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}\text{,左分支:}\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{3\pi }{2}\right)\text{,}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.233c)}& \rho =\frac{a}{\cos \phi }\pm l\left(+:\text{ 右分支,}-:\text{ 左分支 }\right).\end{array}$$

(1) 右分支 渐近线为 $x=a$ . 顶点 $A$ 的坐标为 $\left(a+l,0\right)$ ,拐点 $B,C$ 的横坐标为方程 $x^3-3a^{2}x+2a\left(a^2-l^2\right)=0$ 的最大根,右分支与渐近线围成的面积 $S=\mathrm{\infty }$ .

(2) 左分支 渐近线为 $x=a$ . 顶点 $D$ 的坐标为(a - l,0),原点为奇点,它的类型与 $a$ 和 $l$ 有关:

情形 a) 若 $l<a$ ,原点为孤立点 (图 2.62(a)),曲线有两个拐点 $E,F$ ,其横坐标为方程 $x^3-3a^{2}x+2a\left(a^2-l^2\right)=0$ 的第二大根.

情形 b) 若 $l>a$ ,原点为二重点 (图 2.62(b)),曲线在点 $x=a-\sqrt[3]{a{l}^2}$ 有一个极大值和极小值. 原点处切线的斜率 $\tan \alpha =\frac{\pm \sqrt{l^2-a^2}}{a}$ ,曲率半径 $r_0=\frac{l\sqrt{l^2-a^2}}{2a}$ .

情形 $\mathbf{c}$ ) 若 $l=a$ ,原点为尖点 (图 2.62(c)).