12.1.6 实向量空间的复化

每一个实向量空间 $V$ 都可以扩张成一个复向量空间 $\tilde{V}$ . 集合 $\tilde{V}$ 由所有 $x,y\in$ $V$ 的偶对(x, y)组成. 其中的运算 (加法以及复数 $a+\mathrm{i}b$ 与元素的乘法) 定义如下:

$$\begin{array}{}\text{(12.23a)}& \left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)=\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.23b)}& \left(a+\mathrm{i}b\right)\left(x,y\right)=\left(ax-by,bx+ay\right).\end{array}$$

由于有特殊关系

$$\begin{array}{}\text{(12.24)}& \left(x,y\right)=\left(x,0\right)+\left(0,y\right)\text{ 和 }\mathrm{i}\left(y,0\right)=\left(0+\mathrm{i}1\right)\left(y,0\right)=\left(0,y\right),\end{array}$$

故偶对(x, y)也可以写成 $x+\mathrm{i}y$ . 集合 $\tilde{V}$ 是一个复向量空间,这里集合 $V$ 等同于线性子空间 ${\tilde{V}}_0=\{\left(x,0\right):x\in V\}$ ,即 $x\in V$ 可以看作(x,0)或看作 $x+i0$ .

这一程序称作向量空间 $V$ 的复化. $V$ 中线性无关子集在 $\tilde{V}$ 中也是线性无关的. 同样的论述对于 $V$ 中的基也成立,从而 $\dim \left(V\right)=\dim \left(\tilde{V}\right)$ .