4.2.1 定义

1. 行列式

行列式是一个与方阵唯一关联的实数或复数. 与(n, n)矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{\mu \nu }\right)$ 相关联的 $n$ 阶行列式

$$\begin{array}{}\text{(4.55)}& D=det\mathbf{A}=det\left(a_{\mu \nu }\right)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,\end{array}$$

应用拉普拉斯展开法则用递推方式计算:

$$\begin{array}{}\text{(4.56a)}& det\mathbf{A}=\sum _{\nu =1}^n{a}_{\mu \nu }{A}_{\mu \nu }\left(\mu \text{ 固定,按第 }\mu \text{ 行展开 }\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(4.56b)}& det\mathbf{A}=\sum _{\mu =1}^n{a}_{\mu \nu }{A}_{\mu \nu }\left(\nu \text{ 固定,按第 }\nu \text{ 列展开 }\right),\end{array}$$

其中 $A_{\mu \nu }$ 是属于元素 $a_{\mu \nu }$ 的子行列式与符号因子 ${(-1)}^{\mu +\nu }$ 之积. $A_{\mu \nu }$ 称作代数余子式.

2. 子行列式

$n$ 阶行列式属于元素 $a_{\mu \nu }$ 的 $n-1$ 阶子行列式是划去第 $\mu$ 行和第 $\nu$ 列所得到的行列式.

• 按第 3 行展开 4 阶行列式:

$$\left|\begin{array}{llll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|=a_{31}\left|\begin{array}{lll}{a}_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|-a_{32}\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{23}& a_{24}\\ a_{41}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|$$$$+a_{33}\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{24}\\ a_{41}& a_{42}& a_{44}\end{array}\right|-a_{34}\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}\end{array}\right|.$$