2.16.2 实用的经验公式

本节讨论经验函数相关性的一些简单情形, 并给出相应的图示. 每个图示都给出几条与公式中不同参数值相对应的曲线, 在随后几节中讨论参数对曲线形状的影响.

为了选择恰当的函数, 必须考虑其对应的图像, 以便再现经验数据. 例如, 我们不能仅在经验数据曲线有极大或极小值时判断公式 $y=a{x}^2+bx+c$ 是否合理.

2.16.2.1 幂函数

1. $y=a{x}^b$ 型

图 2.80 给出了当幂函数

$$\begin{array}{}\text{(2.255a)}& y=a{x}^b\end{array}$$

的指数 $b$ 取不同值时曲线的形状. 图 2.15、图 2.21、图 2.24 解 2.26 也给出了不同指数的曲线. 将 (2.44)、(2.45) 和 (2.50) 作为 $n$ 次抛物线、反比函数和倒数幂进行了讨论, 做修正时可取对数

$$\begin{array}{}\text{(2.255b)}& X=\log x,Y=\log y:Y=\log a+bX.\end{array}$$

2. $y=a{x}^b+c$ 型

公式

$$\begin{array}{}\text{(2.256a)}& y=a{x}^b+c\end{array}$$

所表示的曲线与 (2.255a) 类似,但要在 $y$ 轴方向上平移 $c$ 个单位 (图 2.82),若 $b$ 已知, 可做修正

$$\begin{array}{}\text{(2.256b)}& X=x^b,Y=y:Y=aX+c.\end{array}$$

若 $b$ 未知,首先确定 $c$ ,然后可做修正

$$\begin{array}{}\text{(2.256c)}& X=\log x,Y=\log \left(y-c\right):Y=\log a+bX.\end{array}$$

为了确定 $c$ ,可以任选两个横坐标 $x_1,x_2$ 和第三个横坐标 $x_3=\sqrt{x_1{x}_2}$ ,以及三个相应的纵坐标 $y_1,y_2,y_3$ ,满足

$$\begin{array}{}\text{(2.256d)}& c=\frac{y_1{y}_2-y_3^2}{y_1+y_2-2y_3}.\end{array}$$

在确定出 $a,b$ 之后,可以得到正确的 $c$ ,即量 $y-a{x}^b$ 的均值.

2.16.2.2 指数函数

1. $y=a{\mathrm{e}}^{bx}$ 型

图 2.81 给出了函数

$$\begin{array}{}\text{(2.257a)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx}\end{array}$$

的曲线图形. 92 页 2.6.1 中讨论了指数函数(2.54) 和它的图像 (图 2.26). 可进行如下修正

$$\begin{array}{}\text{(2.257b)}& X=x,Y=\log y:Y=\log a+b\log \mathrm{e}\cdot X.\end{array}$$

2. $y=a{\mathrm{e}}^{bx}+c$ 型

公式

$$\begin{array}{}\text{(2.258a)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx}+c\end{array}$$

所表示的曲线与 (2.257a) 相同,但要在 $y$ 轴方向上平移 $c$ 个单位 (图 2.83). 对 $c$ 确定出 $c_1$ 后可做如下修正

$$\begin{array}{}\text{(2.258b)}& Y=\log \left(y-c_1\right),X=x:Y=\log a+b\log \mathrm{e}\cdot X.\end{array}$$

为了确定像 (2.256d) 中那样的 $c$ ,可以任选两个横坐标 $x_1,x_2$ 和第三个横坐标 $x_3=$ $\frac{x_1+x_2}{2}$ ,以及三个相应的纵坐标 $y_1,y_2,y_3$ ,得到 $c=\frac{y_1{y}_2-y_3^2}{y_1+y_2-2y_3}$ . 确定出 $a,b$ 之后,可以得到正确的 $c$ ,即量 $y-a{x}^b$ 的均值.

2.16.2.3 二次多项式

图 2.84 给出了二次多项式

$$\begin{array}{}\text{(2.259a)}& y=a{x}^2+bx+c\end{array}$$

的所有可能的曲线形状. 关于二次多项式 (2.41) 及其曲线图示 2.12 的讨论见 82 页 2.3.2. 通常利用最小二乘法可确定出系数 $a,b,c$ ; 但在这种情况下也可能进行修正. 选择任一数据点 $\left(x_1,y_1\right)$ ,做修正

$$\begin{array}{}\text{(2.259b)}& X=x,Y=\frac{y-y_1}{x-x_1}:Y=\left(b+a{x}_1\right)+aX.\end{array}$$

若给定的 $x$ 值构成一个公差为 $h$ 的等差数列,可做修正

$$\begin{array}{}\text{(2.259c)}& Y=\mathrm{\Delta }y,X=x:Y=\left(bh+a{h}^2\right)+2ahX.\end{array}$$

在这两种情况中, 由方程

$$\begin{array}{}\text{(2.259d)}& \sum y=a\sum x^2+b\sum x+nc\end{array}$$

确定出 $a,b$ 后,可计算 $c;n$ 为给定的 $x$ 值的个数,并由此可以计算和式.

2.16.2.4 有理线性函数

第 85 页 2.4 中 (2.46) 和图 2.17(参见第 86 页) 已讨论了有理线性函数:

$$\begin{array}{}\text{(2.260a)}& y=\frac{ax+b}{cx+d}.\end{array}$$

对任一数据点 $\left(x_1,y_1\right)$ ,可按如下方式进行修正

$$\begin{array}{}\text{(2.260b)}& Y=\frac{x-x_1}{y-y_1},X=x:Y=A+BX.\end{array}$$

$A,B$ 确定后,可得到形如(2.260c)的关系

$$\begin{array}{}\text{(2.260c)}& y=y_1+\frac{x-x_1}{A+Bx}.\end{array}$$

有时有理线性函数不是 (2.260a) 的形式, 而是满足 (2.260d)

$$\begin{array}{}\text{(2.260d)}& y=\frac{x}{cx+d}\text{ 或 }y=\frac{1}{cx+d},\end{array}$$

在前一情况下可做修正 $X=\frac{1}{x},Y=\frac{1}{y}$ 或 $X=x,Y=\frac{x}{y}$ ; 后一情况可做修正$X=x,Y=\frac{1}{y}.$

2.16.2.5 二次多项式的平方根

方程

$$\begin{array}{}\text{(2.261)}& y^2=a{x}^2+bx+c\end{array}$$

可能表示的曲线形状如图 2.85 所示. 91 页中已讨论过函数 (2.52) 及其图像 (图 2.23). 若引进新的变量 $Y=y^2$ ,这个问题可以转化成 143 页 2.16.2.3 中二次多项式的情况.

2.16.2.6 一般误差曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.262)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx+c{x}^2}\text{ 或 }\log y=\log a+bx\log \mathrm{e}+c{x}^2\log \mathrm{e}\end{array}$$

的典型曲线图像如图 2.86 所示. 方程 (2.61) 和图 2.30 ${}^{\circ }$ 已讨论过这个函数 (参见 95~96 页).

若引进新的变量 $Y=\log y$ ,这个问题可以转化成 143 页 2.16.2.3 中二次多项式的情况.

2.16.2.7 第 II 类三次曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.263)}& y=\frac{1}{a{x}^2+bx+c}\end{array}$$

的所有可能形状如图 2.87 所示, 方程 (2.48) 和图 2.19 曾讨论过该函数 (参见第 87 88 页).

若引进新的变量 $Y=\frac{1}{y}$ ,这个问题可以转化成 143 页 2.16.2.3 中二次多项式的情况.

2.16.2.8 第 III 类三次曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.264)}& y=\frac{x}{a{x}^2+bx+c}\end{array}$$

的典型曲线形状如图 2.88 所示,方程 (2.49) 和图 2.20 讨论过该函数 (参见 88~89 页).

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①原文中为图 2.31, 译者认为, 应订正为图 2.30.——译者注

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若引进新的变量 $Y=\frac{x}{y}$ ,这个问题可以转化成 143 页 2.16.2.3 中二次多项式的情况.

2.16.2.9 第 I 类三次曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.265)}& y=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\end{array}$$

的典型曲线形状如图 2.89 所示,方程 (2.47) 和图 2.18 讨论过该函数 (参见第 86~87 页).

若引进新的变量 $X=\frac{1}{x}$ ,这个问题可以转化成 143 页 2.16.2.3 中二次多项式的情况.

2.16.2.10 幂函数和指数函数的乘积

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.266a)}& y=a{x}^b{\mathrm{e}}^{cx}\left(c\ne 0\right)\end{array}$$

的典型曲线形状如图 2.90 所示, 方程 (2.62) 和图 2.31 讨论过该函数 (参见第 96~97 页).

若 $x$ 的经验值构成公差为 $h$ 的等差数列,可按

$$\begin{array}{}\text{(2.266b)}& Y=\mathrm{\Delta }\log y,X=\mathrm{\Delta }\log x:Y=hc\log \mathrm{e}+bX\end{array}$$

做修正. 其中 $\mathrm{\Delta }\log y$ 和 $\mathrm{\Delta }\log x$ 分别表示两个相继的 $\log y$ 和 $\log x$ 之差. 若 $x$ 的经验值构成公比为 $q$ 的等比数列,可按

$$\begin{array}{}\text{(2.266c)}& X=x,Y=\mathrm{\Delta }\log y:Y=b\log q+c\left(q-1\right)X\log \mathrm{e}\end{array}$$

做修正. $b,c$ 确定之后,可得到给定方程的对数,并像(2.259d)那样计算出 $\log a$ 的值.

若 $x$ 的值不构成等比数列,但可选择由两个 $x$ 的值构成的数对,满足它们的商为常数 $q$ ,则作代换 $Y={\mathrm{\Delta }}_1\log y$ 后可按 $x$ 的值为等比数列的修正方法进行修正. 其中 ${\mathrm{\Delta }}_1\log y$ 表示商为常数 $q$ 的两个 $x$ 值所对应的两个 $\log y$ 的差 (参见第 148 页 2.16.2.12).

2.16.2.11 指数和

指数和

$$\begin{array}{}\text{(2.267a)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx}+c{\mathrm{e}}^{dx}\end{array}$$

的典型曲线形状如图 2.91 所示. 方程 (2.60) 和图 2.29 讨论过该函数 (参见第 94~95 页).

若 $x$ 的值构成公差为 $h$ 的等差数列, $y,y_1,y_2$ 为已知函数的任意三个连续的值, 则可做如下修正

$$\begin{array}{}\text{(2.267b)}& Y=\frac{y_2}{y},X=\frac{y_1}{y}:Y=\left({\mathrm{e}}^{bh+dh}\right)X-{\mathrm{e}}^{bh}{\mathrm{e}}^{dh}.\end{array}$$

$b,d$ 确定之后,利用

$$\begin{array}{}\text{(2.267c)}& \overline{Y}=y{\mathrm{e}}^{-dx},\overline{X}={\mathrm{e}}^{\left(b-d\right)x}:\overline{Y}=a\overline{X}+c\end{array}$$

可再次进行修正.

2.16.2.12 数值算例

根据表 2.9 中给定的 $x,y$ 值,求一个用以描述 $x,y$ 之间关系的经验公式.

$x$	$y$	$\frac{x}{y}$	$\mathrm{\Delta }\frac{x}{y}$	$\lg x$	$\lg y$	$\mathrm{\Delta }\lg x$	$\mathrm{\Delta }\lg y$	${\mathrm{\Delta }}_1\lg y$	$y_{\text{err }}$
0.1	1.78	0.056	0.007	-1.000	0.250	0.301	0.252	0.252	1.78
0.2	3.18	0.063	0.031	-0.699	0.502	0.176	+0.002	-0.097	3.15
0.3	3.19	0.094	0.063	-0.523	0.504	0.125	-0.099	-0.447	3.16
0.4	2.54	0.157	0.125	-0.398	0.405	0.097	-0.157	-0.803	2.52
0.5	1.77	0.282	0.244	-0.301	0.248	0.079	-0.191	-1.134	1.76
0.6	1.14	0.526	0.488	-0.222	0.057	0.067	-0.218	-1.455	1.14
0.7	0.69	1.014	0.986	-0.155	-0.161	0.058	-0.237		0.70
0.8	0.40	2.000	1.913	-0.097	-0.398	0.051	-0.240		0.41
0.9	0.23	3.913	3.78	-0.046	-0.638	0.046	-0.248		0.23
1.0	0.13	7.69	8.02	0.000	-0.886	0.041	-0.269		0.13
1.1	0.07	15.71	14.29	0.041	-1.155	0.038	-0.243		0.07
1.2	0.04	30.0		0.079	-1.398				0.04

选择近似函数 首先画出由这些给定的数据所表示的图像 (图 2.92), 通过把该图像与前面讨论的曲线进行对比, 可以看到图 2.88 和图 2.90 中曲线所刻画的函数 (2.264) 或 (2.266a) 符合目前研究的这种类型.

确定参数 利用公式 (2.264) 做修正 $\mathrm{\Delta }\frac{x}{y}$ 和 $x$ ,但计算显示 $x$ 和 $\mathrm{\Delta }\frac{x}{y}$ 之间的关系并不是线性的,为此要说明公式 (2.266a) 是否适合. 在图 2.93 中,对 $h=0.1$ 时描出 $\mathrm{\Delta }\log x$ 和 $\mathrm{\Delta }\log y$ 的关系图,也可在图 2.94 中对 $q=2$ 描出 ${\mathrm{\Delta }}_1\log y$ 和 $x$ 的关系图,可发现在这两种情况下的点都与直线足够吻合,因此可以选择公式 $y=a{x}^b{\mathrm{e}}^{cx}$ .

为了确定常数 $a,b,c$ ,要利用平均值法考察 $x$ 和 ${\mathrm{\Delta }}_1\log y$ 间的线性关系,在每三个方程构成的方程组中增加条件方程 ${\mathrm{\Delta }}_1\log y=b\log 2+cx\log \mathrm{e}$ ,有

$$-0.292=0.903b+0.2606c,-3.392=0.903b+0.6514c,$$

由此得到 $b=1.966,c=-7.932$ . 为了确定 $a$ ,要增加形如 $\log y=\log a+b\log x+$ $c\log \mathrm{e}\cdot x$ 的方程,有 $-2.670=12\log a-6.529-26.87$ ,因此 $\log a=2.561$ ,故 $a=364$ . 利用公式 $y=364x^{1.966}{\mathrm{e}}^{-7.032x}$ 可计算出 $y$ 的值,如表 2.9 最后一列所示,记为 $y_{\mathrm{err}}$ ,表示 $y$ 的近似值. 误差的平方和为 0.0024 .

由经过修正所确定的参数作为非线性最小二乘问题 (参见第 1282 页 19.6.2.4) 迭代解的初始值

$$\sum _{i=1}^{12}{[y_i-a{x}_i^b{\mathrm{e}}^{c{x}_i}]}^2=min!$$

得到 $a=396.601986,b=1.998098,c=-8.0000916$ ,误差的平方和为 0.0000916 .