16.2.1 事件、频率和概率

16.2.1.1 事件

1. 不同类型的事件

在概率论中,试验的所有可能结果称为事件,事件构成基本概率集 $A$ .

事件分为必然事件、不可能事件和随机事件.

当进行试验时, 必然事件一定发生, 不可能事件绝不会发生; 随机事件可能发生, 也可能不发生. 试验中两两互斥的所有可能结果称为基本事件(也可参见表 16.2). 基本概率集 $A$ 的事件用字母 $A,B,C,\cdots$ 表示,必然事件用 $I$ 表示,不可能事件用 $O$ 表示. 事件间的运算和关系由表 16.2 给出.

	名称	记法	定义
(1)	事件 $A$ 的补集	$\overline{A}$	$\overline{A}$ 发生当且仅当 $A$ 不发生
(2)	事件 $A$ 与 $B$ 的和	$A+B$	$A+B$ 表示 $A$ 或 $B$ 发生或同时发生
(3)	事件 $A$ 与 $B$ 的乘积	$AB$	$AB$ 表示 $A$ 和 $B$ 同时发生的事件
(4)	事件 $A$ 与 $B$ 的差	$A-B$	$A-B$ 发生当且仅当 $A$ 发生而 $B$ 不发生
(5)	事件作为另一事件发生的结果	$A\subseteq B$	$A\subseteq B$ 指 $A$ 的发生必导致 $B$ 的发生
(6)	基本事件或简单事件	$E$	若 $E=A+B$ ,则 $E=A$ 或 $E=B$
(7)	复合事件		非基本事件
(8)	事件 $A$ 与 $B$ 不相容或互斥	$AB=O$	事件 $A$ 和 $B$ 不能同时发生

2. 运算性质

基本概率集通过表 16.2 中定义的补集、加法和乘法运算, 构成了布尔代数, 也称为事件域. 下列法则成立:

(1) a) $A+B=B+A$ ,(16.8)

**b) $AB\ast \ast =BA$ .(16.9)

(2) a) $A+A=A$ ,(16.10)

**b) $AA\ast \ast =A$ .(16.11)

(3) a) $A+\left(B+C\right)=\left(A+B\right)+C$ ,(16.12)

**b) $A(\ast \ast BC)=\left(AB\right)C$ .(16.13)

(4) a) $A+\overline{A}=I$ ,(16.14)

**b) $A\overline{A}\ast \ast =O$ .(16.15)

(5) a) $A\left(B+C\right)=AB+AC$ ,(16.16)

**b) $A\ast \ast +BC=\left(A+B\right)\left(A+C\right)$ .(16.17)

(6) a) $\overline{A+B}=\overline{A}\overline{B}$ ,(16.18)

**b) $\overline{AB}\ast \ast =\overline{A}+\overline{B}$ .(16.19)

(7) a) $B-A=B\overline{A}$ ,(16.20)

**b) $\overline{A}\ast \ast =I-A$ .(16.21)

(8) a) $A\left(B-C\right)=AB-AC$ ,(16.22)

**b) $AB\ast \ast -C=\left(A-C\right)\left(B-C\right)$ .(16.23)

(9) a) $O\subseteq A$ ,(16.24)

**b) $A\ast \ast \subseteq I$ .(16.25)

(10) 若 $A\subseteq B$ ,则

**a) $A\ast \ast =AB$ ,(16.26)

且

**b) $B\ast \ast =A+B\overline{A}$ ,反之亦然.(16.27)

(11) 完备事件组 若事件组 $A_{\alpha }(\alpha \in \theta ,\theta$ 是有限或无限指标集) 满足

**a) $A_{\alpha \ast \ast }{A}_{\beta }=O,\alpha \ne \beta$(16.28)

且

**b) $\underset{\alpha \in \theta }{\sum \ast \ast }{A}_{\alpha }=I$ ,(16.29)

则称 $A_{\alpha }$ 为完备事件组.

$◼\mathbf{A}$:投掷 2 枚硬币:独立投掷硬币的基本事件见下表.

(1) 投掷 2 枚硬币的基本事件, 如第 1 枚硬币正面朝上, 第 2 枚硬币反面朝上: $A_{11}{A}_{22}$ .

投掷 2 枚硬币的复合事件,如第 1 枚硬币正面朝上: $A_{11}{A}_{21}+A_{11}{A}_{22}$ .

(2) 投掷 1 枚硬币的复合事件, 例如, 在第一次试验中: 第 1 枚硬币或者正面朝上或者反面朝上: $A_{11}+A_{12}=I$ . 同一枚硬币正面朝上和反面朝上是互不相容事件: $A_{11}{A}_{12}=O$ . B: 灯泡的寿命.

	正面	反面
第 1 枚硬币	$A_{11}$	$A_{12}$
第 2 枚硬币	$A_{21}$	$A_{22}$

定义基本事件 $A_n$ : 寿命 $t$ 满足不等式 $\left(n-1\right)\mathrm{\Delta }t<t\le n\mathrm{\Delta }t(n=1,2,\cdots$ , $\mathrm{\Delta }t>0$ ,表示任意时间单位).

复合事件 $A$ : 寿命不超过 $n\mathrm{\Delta }t$ ,即 $A=\sum _{\nu =1}^n{A}_{\nu }$ .

16.2.1.2 频率和概率

1. 频率

设 $A$ 是试验中事件域 $\mathbf{A}$ 的一个基本事件,若 $n$ 次重复试验中事件 $A$ 发生了 $n_A$ 次,则称 $n_A$ 为事件 $A$ 发生的频数,称 $n_A/n=h_A$ 为事件 $A$ 发生的相对频率. 相对频率满足可用于建立在事件域 $\mathbf{A}$ 中事件 $A$ 的概率 $P\left(A\right)$ 公理化定义的某种性质.

2. 概率的定义

定义在事件域上的实函数 $P$ 称为概率,若它满足如下性质:

(1)对于每一个事件 $A\in \mathbf{A}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(16.30)}& 0\le P\left(A\right)\le 1\text{ 和 }0\le h_A\le 1.\end{array}$$

(2)对于不可能事件 $O$ 和必然事件 $I$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(16.31)}& P\left(O\right)=0,P\left(I\right)=1\text{ 和 }{h}_O=0,h_I=1.\end{array}$$

(3) 若 $\mathbf{A}$ 中的事件 $A_i\left(i=1,2,\cdots \right)$ 是有限或可数多个互斥事件 (当 $i\ne k$ 时, $A_i{A}_k=O)$ ,则

$$P\left(A_1+A_2+\cdots \right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots \text{ 和 }{h}_{A_1+A_2+\cdots }=h_{A_1}+h_{A_2}+\cdots .$$

(16.32)

注 概率论基于上述三个条件的公理化于 1933 年由柯尔莫哥洛夫完成 (参见 [16.15], [16.8]).

3. 概率的性质

(1) 由 $B\subseteq A$ 可得 $P\left(B\right)\le P\left(A\right)$ .(16.33)

(2) $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$ .(16.34)

(3) a) 对于 $n$ 个两两互斥事件 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,n;A_i{A}_k=O,i\ne k\right)$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(16.35a)}& P\left(A_1+A_2+\cdots +A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots +P\left(A_n\right).\end{array}$$

b) 特别地,当 $n=2$ 时,有

$$\begin{array}{}\text{(16.35b)}& P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right).\end{array}$$

(4) a) 对于任意事件 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ,有

$$P\left(A_1+A_2+\cdots +A_n\right)=P\left(A_1\right)+\cdots +P\left(A_n\right)-P\left(A_1{A}_2\right)-\cdots -P\left(A_1{A}_n\right)$$$$-P\left(A_2{A}_3\right)-\cdots -P\left(A_2{A}_n\right)-\cdots -P\left(A_{n-1}{A}_n\right)$$$$+P\left(A_1{A}_2{A}_3\right)+\cdots +P\left(A_1{A}_2{A}_n\right)+\cdots$$$$+P\left(A_{n-2}{A}_{n-1}{A}_n\right)-\cdots +{(-1)}^{n-1}P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right).$$

(16.36a)

b) 特别地,当 $n=2$ 时,有

$$\begin{array}{}\text{(16.36b)}& P\left(A_1+A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)-P\left(A_1{A}_2\right).\end{array}$$

(5) 等可能事件: 设有限完备事件组中的每个事件 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 发生的可能性相同, 则

$$\begin{array}{}\text{(16.37)}& P\left(A_i\right)=\frac{1}{n}.\end{array}$$

若 $A$ 是完备事件组中 $m\left(m\le n\right)$ 个等可能事件 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 之和,则

$$\begin{array}{}\text{(16.38)}& P\left(A\right)=\frac{m}{n}.\end{array}$$

4. 概率举例

$◼\mathbf{A}$: 掷一颗均匀骰子得到 2 点的概率是: $P\left(A\right)=\frac{1}{6}$ .

$◼\mathbf{B}$: 对于乐透游戏 “49 选 6”,即从数字 $1,2,\cdots ,49$ 中选出 6 个数字,猜中 4 个数字的概率是多少?

若 6 个数字已给出,则选中 4 个数字的可能取法是 $\left(\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right)$ ,另一方面,选中错误数字的可能取法是 $\left(\begin{array}{c}49-6\\ 6-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}43\\ 2\end{array}\right)$ . 总体上,选出 6 个数字的不同取法是 $\left(\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right)$ . 因此,概率 $P\left(A_4\right)$ 为

$$P\left(A_4\right)=\frac{\left(\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}43\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right)}=\frac{645}{665896}=0.0968\mathrm{\%}.$$

类似地,选对全部 6 个数字的概率 $P\left(A_6\right)$ 为

$$P\left(A_6\right)=\frac{1}{\left(\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right)}=0.715\cdot {10}^{-7}=7.15\cdot {10}^{-6}\mathrm{\%}.$$

$◼\mathbf{C}$: $k$ 个人中至少有两个人是同一天生日的概率 $P\left(A\right)$ 为多少? (出生年份未必相同, 且假设每人的生日在任一天的概率相同. )

考虑补集事件 $\overline{A}$ 更容易: $k$ 个人的生日互不相同. 可得

$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{365}{365}\cdot \frac{365-1}{365}\cdot \frac{365-2}{365}\cdot \cdots \cdot \frac{365-k+1}{365}.$$

由此可推出

$$P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{365\cdot 364\cdot 363\cdot \cdots \cdot \left(365-k+1\right)}{{365}^k}.$$

一些数值结果:

$k$	10	20	23	30	60
$P\left(A\right)$	0.117	0.411	0.507	0.706	0.994

由此可见, 在 23 个和 23 个以上的人中, 至少有两个人是同一天生日的概率大于 $50\mathrm{\%}$ .

16.2.1.3 条件概率、贝叶斯定理

1. 条件概率

当已知某个事件 $A$ 已发生时,事件 $B$ 发生的概率称为条件概率,记作 $P\left(B\mid A\right)$ , 或 $P_A\left(B\right)$ (读作: $A$ 发生条件下 $B$ 发生的概率),其定义为

$$\begin{array}{}\text{(16.39)}& P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)},P\left(A\right)\ne 0.\end{array}$$

条件概率满足下述性质:

a) 若 $P\left(A\right)\ne 0$ ,且 $P\left(B\right)\ne 0$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(16.40a)}& \frac{P\left(B\mid A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\mid B\right)}{P\left(A\right)}.\end{array}$$

b) 若 $P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right)\ne 0$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(16.40b)}& P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\mid A_1\right)\cdots P\left(A_n\mid A_1{A}_2\cdots A_{n-1}\right).\end{array}$$

2. 独立事件

如果

$$\begin{array}{}\text{(16.41a)}& P\left(A\mid B\right)=P\left(A\right)\text{ 和 }P\left(B\mid A\right)=P\left(B\right)\end{array}$$

成立,则称事件 $A$ 和事件 $B$ 是独立事件. 此时,

$$\begin{array}{}\text{(16.41b)}& P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right).\end{array}$$

3. 完备事件组中的事件

设 $\mathbf{A}$ 是事件域,事件 $B_i\in \mathbf{A}$ 构成一个完备事件组,且 $P\left(B_i\right)>0(i=$ $1,2,\cdots ,n)$ ,则对任意事件 $A\in \mathbf{A}$ ,下述公式成立:

a) 全概率定理

$$\begin{array}{}\text{(16.42)}& P\left(A\right)=\sum _{i}P\left(A\mid B_i\right)P\left(B_i\right).\end{array}$$

b) 贝叶斯定理 当 $P\left(A\right)>0$ 时

$$\begin{array}{}\text{(16.43)}& P\left(B_k\mid A\right)=\frac{P\left(A\mid B_k\right)P\left(B_k\right)}{\sum _{i}P\left(A\mid B_i\right)P\left(B_i\right)}.\end{array}$$

$◼$ 某工厂三台机器生产同一类产品,第一台机器的产量是全厂总产量的 $20\mathrm{\%}$ ,第二台、第三台的产量分别是 $30\mathrm{\%}$ 和 $50\mathrm{\%}$ . 由过去的经验可知,每台机器的次品率分别是 $5\mathrm{\%},4\mathrm{\%}$ 和 $2\mathrm{\%}$ . 通常会提出两类问题:

a) 从全部产品中随机挑出一件, 问它是次品的概率为多少?

b) 假设随机挑出的一件产品是次品, 比如, 问它是由第一台机器生产的概率为多少?

用下述符号给出:

• 事件 $A_i$ 表示随机挑出的产品由第 $i$ 台机器生产 $\left(i=1,2,3\right)$ ,则 $P\left(A_1\right)=0.2$ , $P\left(A_2\right)=0.3,P\left(A_3\right)=0.5$ . 事件 $A_i$ 构成完备事件组:

• $A_i{A}_j=O,A_1+A_2+A_3=I$ .

• 事件 $A$ 表示挑出的产品是次品.

• $P\left(A\mid A_1\right)=0.05$ 指第一台机器生产次品的概率,类似地, $P\left(A\mid A_2\right)=0.04$ ,$P\left(A\mid A_3\right)=0.02.$

于是, 问题的答案是:

$$\text{a)}P\left(A\right)=P\left(A_1\right)P\left(A\mid A_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(A\mid A_2\right)+P\left(A_3\right)P\left(A\mid A_3\right)$$$$=0.2\cdot 0.05+0.3\cdot 0.04+0.5\cdot 0.02=0.032.$$

**b) $P(\ast \ast A_1\mid A)=P\left(A_1\right)\cdot \frac{P\left(A\mid A_1\right)}{P\left(A\right)}=0.2\cdot \frac{0.05}{0.032}=0.31$ .