12.3.1 赋范空间概念

12.3.1.1 赋范空间公理

设 $X$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的一向量空间. 函数 $\parallel \cdot \parallel :X\to {\mathbb{R}}_{+}^1$ 称作向量空间 $X$ 上的一个范数,而偶对 $X=\left(X,\parallel \cdot \parallel \right)$ 称作域 $\mathbb{F}$ 上的一个赋范空间,是指对于任意元 $x,y\in X$ 和任意标量 $\alpha \in \mathbb{F}$ ,如下性质,即所谓赋范空间公理满足:

(N1) $\parallel x\parallel \ge 0$ ,并且 $\parallel x\parallel =0$ 当且仅当 $x=0$ ,(12.78)

(N2) $\parallel \alpha x\parallel =\left|\alpha \right|\cdot \parallel x\parallel$ (齐性),(12.79)

(N3) $\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel$ (三角形不等式).(12.80)

在任意赋范空间 $X$ 中,

$$\begin{array}{}\text{(12.81)}& \rho \left(x,y\right)=\parallel x-y\parallel ,\mathrm{\forall }x,y\in X,\end{array}$$

诱导出一个距离. 距离 (12.81) 具有如下与向量空间结构相容的一些性质:

$$\begin{array}{}\text{(12.82a)}& \rho \left(x+z,y+z\right)=\rho \left(x,y\right),\mathrm{\forall }z\in X,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(12.82b)}& \rho \left(\alpha x,\alpha y\right)=\left|\alpha \right|\rho \left(x,y\right),\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{F}.\end{array}$$

因此在赋范空间中, 既有向量空间性质, 也有距离空间性质. 这些性质在 (12.82a 和 (12.82b) 的意义下是相容的. 其优点是, 大多数局部研究可以限制在球

$$\begin{array}{}\text{(12.83)}& B\left(0;1\right)=\{x\in X:\parallel x\parallel <1\}\text{ 或 }\overline{B}\left(0;1\right)=\{x\in X:\parallel x\parallel \le 1\}\end{array}$$

上来进行, 这是因为

$$\begin{array}{}\text{(12.84)}& B\left(x;r\right)=\{y\in X:\parallel y-x\parallel <r\}=x+rB\left(0;1\right),\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }r>0.\end{array}$$

此外, 向量空间中的代数运算是连续的, 即

$$x_n\to x,y_n\to y,{\alpha }_n\to \alpha \text{蕴涵}{x}_n+y_n\to x+y,{\alpha }_n{x}_n\to \alpha x,\Vert \begin{array}{c}{x}_n\end{array}\Vert \to \parallel x\parallel \text{.}$$

(12.85)

在赋范空间中, 对于收敛序列,(12.53) 可以写成

$$\begin{array}{}\text{(12.86)}& \Vert \begin{array}{c}{x}_n-x\end{array}\Vert \to 0\left(n\to \mathrm{\infty }\right).\end{array}$$

12.3.1.2 赋范空间的某些性质

在可赋范的(即范数可以由距离引入, $\parallel x-y\parallel =\rho \left(x,0\right)$ ) 线性距离空间中,其距离满足条件 (12.82a) 和 (12.82b). 两个赋范空间 $X$ 和 $Y$ 称作范数同构的,是指存在一双射线性映射 $T:X\to Y$ 使得 $\parallel Tx\parallel =\parallel x\parallel \mathrm{\forall }x\in X$ . 设 $\parallel \cdot {\parallel }_1$ 和 $\parallel \cdot {\parallel }_2$ 是向量空间 $X$ 上的两个范数,并用 $X_1$ 和 $X_2$ 分别表示相应的赋范空间,即 $X_1=\left(X,\parallel \cdot {\parallel }_1\right)$ 和 $X_2=\left(X,\parallel \cdot {\parallel }_2\right).$

范数 $\parallel \cdot {\parallel }_1$ 比范数 $\parallel \cdot {\parallel }_2$ 强,是指存在数 $\gamma >0$ 使得 $\parallel x{\parallel }_2\le \gamma \parallel x{\parallel }_1,\mathrm{\forall }x\in X$ . 在这种情况下,序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 按强范数收敛于 $x$ ,即 ${\Vert \begin{array}{c}{x}_n-x\end{array}\Vert }_1\to 0$ ,意味着该序列也按范数 $\parallel \cdot {\parallel }_2$ 收敛于 $x$ ,即 ${\Vert \begin{array}{c}{x}_n-x\end{array}\Vert }_2\to 0$ .

两个范数 $\parallel \cdot \parallel$ 和 $\parallel \cdot {\parallel }_1$ 称作等价的,是指存在两个数 ${\gamma }_1>0,{\gamma }_2>0$ 使得 ${\gamma }_1\parallel x\parallel \le \parallel x{\parallel }_1\le {\gamma }_2\parallel x\parallel ,\mathrm{\forall }x\in X$ . 在有穷维向量空间中,所有范数都是彼此等价的.

赋范空间的子空间是该空间的一个闭线性子空间.