2.5.2 二次多项式的平方根

两个函数联立的曲线

$$\begin{array}{}\text{(2.52)}& y=\pm \sqrt{a{x}^2+bx+c}\left(a\ne 0,\mathrm{\Delta }=4ac-b^2\ne 0\right),\end{array}$$

当 $a<0$ 时是椭圆; 当 $a>0$ 时是双曲线(图 2.23),其中一条对称轴是 $x$ 轴,另一条对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$ .

顶点 $A,C$ 和 $B,D$ 的坐标为 $\left(-\frac{b\pm \sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a},0\right)$ 和 $\left(-\frac{b}{2a},\pm \sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}}\right)$ ,其中$\mathrm{\Delta }=4ac-b^2.$

函数的定义域和曲线的形状与 $a$ 和 $\mathrm{\Delta }$ 的符号有关 (图 2.23). 当 $a<0$ 且 $\mathrm{\Delta }>0$ 时,函数仅有一个虚值,因此曲线不存在 (关于椭圆和双曲线更详尽的说明参见第 267 页 3.5.2.8 和第 271 页 3.5.2.9).