10.4.1 简单变分问题

多个自变量函数的简单变分问题之一是下述二重积分的变分问题:

$$\begin{array}{}\text{(10.44)}& I\left[u\right]={\iint }_{G}F\left(x,y,u\left(x,y\right),u_x,u_y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\text{ 极值!. }\end{array}$$

未知函数 $u=u\left(x,y\right)$ 在区域 $G$ 的边界 $\mathrm{\Gamma }$ 上取给定值. 根据第 806 页的 10.3.2,以形式

$$\begin{array}{}\text{(10.45)}& u\left(x,y\right)=u_0\left(x,y\right)+\epsilon \eta \left(x,y\right)\end{array}$$

引进一个可比较函数,其中 $u_0\left(x,y\right)$ 是变分问题(10.44)的一个解,它取给定的边界值,而 $\eta \left(x,y\right)$ 满足条件

$$\begin{array}{}\text{(10.46)}& \eta \left(x,y\right)=0\text{ 在边界 }\mathrm{\Gamma }\text{ 上. }\end{array}$$

$\eta \left(x,y\right)$ 和 $u_0\left(x,y\right)$ 都是按需要那样多次连续可微的. 量 $\epsilon$ 是一个参数.

其次,要确定一个接近于解曲面 $u_0\left(x,y\right)$ 的曲面 $u=u\left(x,y\right)$ . 利用(10.45), $I\left[u\right]$ 变为 $I\left(\epsilon \right)$ ,即,变分问题 (10.44) 变为必须满足必要条件

$$\begin{array}{}\text{(10.47)}& \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\epsilon }=0,\text{ 当 }\epsilon =0\text{ 时 }\end{array}$$

的一个极值问题. 由此即得, 欧拉微分方程(Euler differential equation)

$$\begin{array}{}\text{(10.48)}& \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=0\end{array}$$

作为变分问题 (10.44) 解的一个必要条件.

$◼$ 考虑一个固定在 $x,y$ 平面中一区域 $G$ 边界 $\mathrm{\Gamma }$ 上的自由膜, $G$ 的面积为

$$\begin{array}{}\text{(10.49a)}& I_1={\iint }_G\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

如果该膜由于负载而形变,以致在每个点处在 $z$ 方向有一伸长 $u=u\left(x,y\right)$ ,那么其面积由公式

$$\begin{array}{}\text{(10.49b)}& I_2={\iint }_G\sqrt{1+u_x^2+u_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

计算. 把 (10.49b) 中的被积函数线性化, 并利用泰勒公式 (参见第 602 页 6.2.2.3), 即得的关系式

$$\begin{array}{}\text{(10.49c)}& I_2\approx I_1+\frac{1}{2}{\iint }_G\left(u_x^2+u_y^2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

对于形变膜的势能 $U$ ,成立

$$\begin{array}{}\text{(10.49d)}& U=\sigma \left(I_2-I_1\right)=\frac{\sigma }{2}{\iint }_G\left(u_x^2+u_y^2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\end{array}$$

其中常数 $\sigma$ 表示膜的张力. 用这种方式产生了所谓的狄利克雷变分问题(Dirichlet variational problem): 确定函数 $u=u\left(x,y\right)$ ,使得泛函

$$\begin{array}{}\text{(10.49e)}& I\left[u\right]={\iint }_G\left(u_x^2+u_y^2\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

有一个极值,并且 $u$ 在平面区域 $G$ 的边界 $\mathrm{\Gamma }$ 上为零. 相应的欧拉微分方程为

$$\begin{array}{}\text{(10.49f)}& \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0\end{array}$$

它是两个变量的拉普拉斯微分方程 (参见第 951 页 13.5.1).