7.3.3 幂级数

7.3.3.1 定义、收敛性

1. 定义

最重要的函数项级数为幂级数, 形为

$$\begin{array}{}\text{(7.83a)}& a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(7.83b)}& a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2{(x-x_0)}^2+\cdots +a_n{(x-x_0)}^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-x_0)}^n,\end{array}$$

其中系数 $a_i$ 及展开式的中心 $x_0$ 为常数.

2. 绝对收敛与收敛半径

幂级数或者仅在 $x=x_0$ 收敛,或者对所有 $x$ 值均收敛,或者存在一个数,即收敛半径 $r>0$ ,使得当 $\left|x-x_0\right|<r$ 时绝对收敛,当 $\left|x-x_0\right|>r$ 时发散 (图 7.1). 若下面极限存在, 收敛半径公式为

$$\begin{array}{}\text{(7.84)}& r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\text{ 或 }r=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}}.\end{array}$$

若这些极限不存在, 要选取上极限 (Iim) 来代替通常的极限 (参见 [7.8] I 卷). 在级数 (7.83a) 的端点 $x=+r$ 和 $x=-r$ ,以及级数 (7.83b) 的端点 $x=x_0+r$ 和 $x=x_0-r$ 处,级数或者收敛或者发散.

3. 一致收敛

幂级数在收敛域的每个子区间 $\left|x-x_0\right|\le r_0<r$ 上一致收敛 (阿贝尔定理).

$◼$ 对于级数 $1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n}+\cdots$ ,有 $r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=1^{\text{①}}$ .(7.85)因此当 $-1<x<1$ 时级数绝对收敛,当 $x=-1$ 时条件收敛 (参见第 620 页级数 (7.34)),当 $x=1$ 时发散 (参见第 616 页调和级数 (7.16)).

根据阿贝尔定理,当 $r_1$ 为介于 0 到 1 间的任意一个数时,级数在 $\left[-r_1,r_1\right]$ 上均一致收敛.

7.3.3.2 幂级数的计算

1. 和与积

收敛的幂级数可以在其公共的收敛域内相加、相乘或用一个常因子依次乘以每一项. 两个幂级数的积为

$$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n\right)=a_0{b}_0+\left(a_0{b}_1+a_1{b}_0\right)x+\left(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0\right)x^2$$$$\begin{array}{}\text{(7.86)}& +\left(a_0{b}_3+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_0\right)x^3+\cdots .\end{array}$$

2. 幂级数的方幂的前几项

$$\begin{array}{}\text{(7.87)}& S=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+e{x}^4+f{x}^5+\cdots ,\end{array}$$$$S^2=a^2+2abx+\left(b^2+2ac\right)x^2+2\left(ad+bc\right)x^3+\left(c^2+2ae+2bd\right)x^4$$$$\begin{array}{}\text{(7.88)}& +2\left(af+be+cd\right)x^5+\cdots ,\end{array}$$$$\sqrt{S}=S^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}[1+\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\left(\frac{1}{2}\frac{c}{a}-\frac{1}{8}\frac{b^2}{a^2}\right)x^2+\left(\frac{1}{2}\frac{d}{a}-\frac{1}{4}\frac{bc}{a^2}+\frac{1}{16}\frac{b^3}{a^3}\right)x^3$$$$+\left(\frac{1}{2}\frac{e}{a}-\frac{1}{4}\frac{bd}{a^2}-\frac{1}{8}\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{16}\frac{b^{2}c}{a^3}-\frac{5}{128}\frac{b^4}{a^4}\right)x^4+\cdots ]\left(a>0\right),$$

(7.89)

$$\frac{1}{\sqrt{S}}=S^{-\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}[1-\frac{1}{2}\frac{b}{a}x+\left(\frac{3}{8}\frac{b^2}{a^2}-\frac{1}{2}\frac{c}{a}\right)x^2+\left(\frac{3}{4}\frac{bc}{a^2}-\frac{1}{2}\frac{d}{a}-\frac{5}{16}\frac{b^3}{a^3}\right)x^3$$$$+\left(\frac{3}{4}\frac{bd}{a^2}+\frac{3}{8}\frac{c^2}{a^2}-\frac{1}{2}\frac{e}{a}-\frac{15}{16}\frac{b^{2}c}{a^3}+\frac{35}{128}\frac{b^4}{a^4}\right)x^4+\cdots ]\left(a>0\right),$$

(7.90)

$$\frac{1}{S}=S^{-1}=a^{-1}[1-\frac{b}{a}x+\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{c}{a}\right)x^2+\left(\frac{2bc}{a^2}-\frac{d}{a}-\frac{b^3}{a^3}\right)x^3$$$$\begin{array}{}\text{(7.91)}& +\left(\frac{2bd}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}-\frac{e}{a}-3\frac{b^{2}c}{a^3}+\frac{b^4}{a^4}\right)x^4+\cdots ]\left(a\ne 0\right),\end{array}$$$$\frac{1}{S^2}=S^{-2}=a^{-2}[1-2\frac{b}{a}x+\left(3\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}\right)x^2+\left(6\frac{bc}{a^2}-2\frac{d}{a}-4\frac{b^3}{a^3}\right)x^3$$$$\begin{array}{}\text{(7.92)}& +\left(6\frac{bd}{a^2}+3\frac{c^2}{a^2}-2\frac{e}{a}-12\frac{b^{2}c}{a^3}+5\frac{b^4}{a^4}\right)x^4+\cdots ]\left(a\ne 0\right).\end{array}$$

---

① 原文有误. ——译者注

---

3. 两个幂级数的商

$$\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n}=\frac{a_0}{b_0}\frac{1+{\alpha }_{1}x+{\alpha }_2{x}^2+\cdots }{1+{\beta }_{1}x+{\beta }_2{x}^2+\cdots }$$$$=\frac{a_0}{b_0}[1+\left({\alpha }_1-{\beta }_1\right)x+\left({\alpha }_2-{\alpha }_1{\beta }_1+{\beta }_1^2-{\beta }_2\right)x^2$$$$+\left({\alpha }_3-{\alpha }_2{\beta }_1-{\alpha }_1{\beta }_2-{\beta }_3-{\beta }_1{}^3+{\alpha }_1{\beta }_1{}^2+2{\beta }_1{\beta }_2\right)x^3+\cdots ](b_0$$

$\left(b_0\ne 0\right)$ .

(7.93)

首先把商 (7.93) 看成具有未知系数的级数, 乘以分母后再利用系数比较法得到未知系数, 进而得到上述公式.

4. 幂级数的反级数

若设级数

$$\begin{array}{}\text{(7.94a)}& y=f\left(x\right)=ax+b{x}^2+c{x}^3+d{x}^4+e{x}^5+f{x}^6+\cdots \left(a\ne 0\right),\end{array}$$

则其反函数为级数

$$\begin{array}{}\text{(7.94b)}& x=\phi \left(y\right)=Ay+B{y}^2+C{y}^3+D{y}^4+E{y}^5+F{y}^6+\cdots .\end{array}$$

考虑 $y$ 的方幂,比较系数,有

$$A=\frac{1}{a},B=-\frac{b}{a^3},C=\frac{1}{a^5}\left(2b^2-ac\right),D=\frac{1}{a^7}\left(5abc-a^{2}d-5b^3\right),$$$$\begin{array}{}\text{(7.94c)}& E=\frac{1}{a^9}\left(6a^{2}bd+3a^2{c}^2+14b^4-a^{3}e-21a{b}^{2}c\right),\end{array}$$$$F=\frac{1}{a^{11}}\left(7a^{3}be+7a^{3}cd+84a{b}^{3}c-a^{4}f-28a^2{b}^{2}d-28a^{2}b{c}^2-42b^5\right).$$

反级数的收敛性必须在各种情况下分别验证.

7.3.3.3 泰勒级数展开式、麦克劳林级数

1373 页的表 21.5 给出了最重要的初等函数的幂级数展开式, 它们通常可利用泰勒展开式得到.

1. 一元函数的泰勒级数

若函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=a$ 具有任意阶导数,则通常可利用泰勒公式将其表示成一个幂级数 (参见第 594 页 6.1.4.5).

a) 第一表示形式

$$\begin{array}{}\text{(7.95a)}& f\left(x\right)=f\left(a\right)+\frac{x-a}{1!}{f}^{\prime }\left(a\right)+\frac{{(x-a)}^2}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(a\right)+\cdots +\frac{{(x-a)}^n}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(a\right)+\cdots \end{array}$$

对 $x$ ,仅当在 $n\to \mathrm{\infty }$ 时余项 $R_n=f\left(x\right)-S_n$ 趋于 0 的情况下,(7.95a) 这种表示形式才正确. 此处余项的概念与第 625 页 7.3.1 中给出的一般余项不同, 仅指表达式 (7.95b) 中的这种余项形式.

余项公式如下:

$R_n=\frac{{(x-a)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{f}^{(n+1)}\left(\xi \right)\left(a<\xi <x\text{ 或 }x<\xi <a\right)$ (拉格朗日公式),(7.95b)

$$\begin{array}{}\text{(7.95c)}& R_n=\frac{1}{n!}{\int }_a^x{(x-t)}^n{f}^{(n+1)}\left(t\right)\mathrm{d}t\text{ (积分公式). }\end{array}$$

b) 第二表示形式

$$\begin{array}{}\text{(7.96a)}& f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+\frac{h}{1!}{f}^{\prime }\left(a\right)+\frac{h^2}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(a\right)+\cdots +\frac{h^n}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(a\right)+\cdots .\end{array}$$

余项表达式为

$$\begin{array}{}\text{(7.96b)}& R_n=\frac{h^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{f}^{(n+1)}\left(a+\mathrm{\Theta }h\right)\left(0<\mathrm{\Theta }<1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.96c)}& R_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^h{(h-t)}^n{f}^{(n+1)}\left(a+t\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

2. 麦克劳林级数

特别地,当 $a=0$ 时,函数 $f\left(x\right)$ 的泰勒级数或幂级数展开式称为麦克劳林级数, 形为

$$\begin{array}{}\text{(7.97a)}& f\left(x\right)=f\left(0\right)+\frac{x}{1!}{f}^{\prime }\left(0\right)+\frac{x^2}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(0\right)+\cdots +\frac{x^n}{n!}{f}^{\left(n\right)}\left(0\right)+\cdots ,\end{array}$$

余项

$$\begin{array}{}\text{(7.97b)}& R_n=\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{f}^{(n+1)}\left(\mathrm{\Theta }x\right)\left(0<\mathrm{\Theta }<1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.97c)}& R_n=\frac{1}{n!}{\int }_0^x{(x-t)}^n{f}^{(n+1)}\left(t\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

泰勒级数及麦克劳林级数的收敛性可以通过考察余项 $R_n$ 或者确定收敛半径 (参见第 628 页 7.3.3.1) 来证明. 后者中可能尽管级数收敛,但 $S\left(x\right)\ne f\left(x\right)$ . 例如在函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\exp \left(-\frac{1}{x^2}\right),& x\ne 0,\\ 0,& x=0\end{array}$ 中,麦克劳林级数中各项都等于 0,但 $S\left(x\right)=$ $0\ne f\left(x\right)$ .