2.6.2 对数函数

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.56)}& y={\log }_{a}x\left(a>0,a\ne 1\right)\end{array}$$

描述了对数曲线 (图 2.27); 该曲线可由指数曲线沿直线 $y=x$ 反射得到. 由 (2.56), 令 $a=\mathrm{e}$ ,得到自然对数曲线的函数

$$\begin{array}{}\text{(2.57)}& y=\ln x,\end{array}$$

仅当 $x>0$ 时,实对数函数才有定义. 若 $a>1$ ,函数严格单调递增,从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$ 取值; 若 $a<1$ ,函数严格单调递减,从 $+\mathrm{\infty }$ 到 $-\mathrm{\infty }$ 取值,且 $\left|\ln a\right|$ 越小,函数增加或减小的速度越快. 曲线过点(1,0),当 $a>1$ 时,向下渐近趋近 $y$ 轴,当 $a<1$ 时,向上渐近趋近 $y$ 轴,且 $\left|\ln a\right|$ 越大,趋近 $y$ 轴的速度越快.