7.4.1 三角和与傅里叶级数

7.4.1.1 基本概念

1. 周期函数的傅里叶表示

有时需要或要用到把周期为 $T$ 的周期函数 $f\left(x\right)$ 精确或近似地表示为三角函数和的形式

$$s_n\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos \omega x+a_2\cos 2\omega x+\cdots +a_n\cos n\omega x$$$$\begin{array}{}\text{(7.101)}& +b_1\sin \omega x+b_2\sin 2\omega x+\cdots +b_n\sin n\omega x,\end{array}$$

上式称为傅里叶展开式. 频率 $w=\frac{2\pi }{T}$ ,当 $T=2\pi$ 时, $w=1$ . 从 635 页 7.4.2.1 的角度讲,利用近似函数 $s_n\left(x\right)$ 可得 $f\left(x\right)$ 的最佳近似,其中 $a_k$ 和 $b_k\left(k=0,1,2,\cdots ,n\right)$ 为已知函数的傅里叶系数, 且它们可由欧拉公式来确定:

$$a_k=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(x\right)\cos k\omega x\mathrm{d}x=\frac{2}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f\left(x\right)\cos k\omega x\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{}\text{(7.102a)}& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}\left[f\left(x\right)+f\left(-x\right)\right]\cos k\omega x\mathrm{d}x,\end{array}$$$$b_k=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(x\right)\sin k\omega x\mathrm{d}x=\frac{2}{T}{\int }_{x_0}^{x_0+T}f\left(x\right)\sin k\omega x\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{}\text{(7.102b)}& =\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}\left[f\left(x\right)-f\left(-x\right)\right]\sin k\omega x\mathrm{d}x,\end{array}$$

此外, 这些系数也可由调和分析法 (参见第 1287 页 19.6.4) 近似确定.

2. 傅里叶级数

若存在一组 $x$ ,满足当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,函数序列 $s_n\left(x\right)$ 趋于极限 $s\left(x\right)$ ,则对这些 $x$ ,已知函数存在一个收敛的傅里叶级数,形如

$$s\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+a_1\cos \omega x+a_2\cos 2\omega x+\cdots +a_n\cos n\omega x+\cdots$$$$\begin{array}{}\text{(7.103a)}& +b_1\sin \omega x+b_2\sin 2\omega x+\cdots +b_n\sin n\omega x+\cdots \end{array}$$

或

$$s\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+A_1\sin \left(\omega x+{\phi }_1\right)+A_2\sin \left(2\omega x+{\phi }_2\right)+\cdots +A_n\sin \left(n\omega x+{\phi }_n\right)+\cdots ,$$

(7.103b)

在第二种形式中,

$$\begin{array}{}\text{(7.103c)}& A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2},\tan {\phi }_k=\frac{a_k}{b_k}.\end{array}$$

3. 傅里叶级数的复形式

在很多情况下, 傅里叶级数的复形式非常有用:

$$\begin{array}{}\text{(7.104a)}& s\left(x\right)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k\omega x},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.104b)}& c_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f\left(x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}k\omega x}\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{a}_0,& k=0,\\ \frac{1}{2}\left(a_k-\mathrm{i}{b}_k\right),& k>0,\\ \frac{1}{2}\left(a_{-k}+\mathrm{i}{b}_{-k}\right),& k<0.\end{array}\end{array}$$

7.4.1.2 傅里叶级数的重要性质

1. 函数的最小均方误差

若区间 $\left[0,T\right]\left(T=\frac{2\pi }{w}\right)$ 上函数 $f\left(x\right)$ 能用如下三角和来近似:

$$\begin{array}{}\text{(7.105a)}& s_n\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n{a}_k\cos k\omega x+\sum _{k=1}^n{b}_k\sin k\omega x,\end{array}$$

该三角和也称为傅里叶和, 则均方误差 (参见第 1278 页 19.6.2.1 和 1288 页 19.6.4.1,2.)

$$\begin{array}{}\text{(7.105b)}& F=\frac{1}{T}{\int }_0^T{[f\left(x\right)-s_n\left(x\right)]}^2\mathrm{d}x\end{array}$$

最小,其中 $a_k$ 和 $b_k$ 为给定函数 $f\left(x\right)$ 的傅里叶系数 (7.102a,7.102b).

2. 函数的均方收敛、帕塞瓦尔方程

若已知函数有界且在区间 $0<x<T$ 上分段连续,则傅里叶级数在区间 $\left[0,T\right]\left(T=\frac{2\pi }{w}\right)$ 上均方收敛到该函数,即

$$\begin{array}{}\text{(7.106a)}& {\int }_0^T{[f\left(x\right)-s_n\left(x\right)]}^2\mathrm{d}x\to 0,n\to \mathrm{\infty }.\end{array}$$

均方收敛的重要结果为帕塞瓦尔方程:

$$\begin{array}{}\text{(7.106b)}& \frac{2}{T}{\int }_0^T{\left[f\left(x\right)\right]}^2\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(a_k^2+b_k^2\right).\end{array}$$

3. 狄利克雷条件

若函数 $f\left(x\right)$ 满足狄利克雷条件,即

a) 定义区间可以分成有限多个区间,且函数 $f\left(x\right)$ 在这些区间上均连续、单调.

b) 在函数 $f\left(x\right)$ 的每个间断点定义 $f\left(x+0\right)$ 和 $f\left(x-0\right)$ 后,函数的傅里叶级数收敛. 在函数 $f\left(x\right)$ 的连续点,和等于 $f\left(x\right)$ ,在间断点和等于 $\frac{f\left(x-0\right)+f\left(x+0\right)}{2}$ .

4. 傅里叶系数的渐近性

若周期函数 $f\left(x\right)$ 及其 $k$ 阶与 $k$ 阶以下导数均连续,则当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,表达式 $a_n{n}^{k+1}$ 和 $b_n{n}^{k+1}$ 均趋于 0 .