8.3.1 第一类线积分

8.3.1.1 定义

第一类线积分或对弧长的积分是满足如下形式的定积分

$$\begin{array}{}\text{(8.106)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s\end{array}$$

其中 $f\left(x,y\right)$ 是定义在一个连通区域的二元函数,其积分在一条已知方程的平面曲线弧 $C\equiv \stackrel{⏜}{AB}$ 上进行,称之为积分路径. 第一类线积分的值可按如下方法来确定 (图 8.24):

(1) 在可求长弧段 $\stackrel{⏜}{AB}$ 上任意插入一点列 $A_1,A_2,\cdots ,A_{n-1}$ ,其中起点为 $A\equiv$ $A_0$ ,终点为 $B\equiv A_n$ ,把 $\stackrel{⏜}{AB}$ 分成 $n$ 个小弧段.

(2) 在每个小弧段 $\stackrel{⏜}{A_{i-1}{A}_i}$ 的内部或端点任意选择点 $P_i$ ,其坐标为 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ .

(3) 用函数在点 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ 的函数值 $f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ 乘以弧长 $\stackrel{⏜}{A_{i-1}{A}_i}=\mathrm{\Delta }{s}_{i-1},\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}$ 为正. (因为弧可求长,故 $\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}$ 有限.)

(4) 将 $n$ 个乘积 $f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}$ 相加.

(5) 当 $n$ 趋于 $\mathrm{\infty }$ ,每个小曲线弧段的长 $\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}$ 趋于 0 时,计算和

$$\begin{array}{}\text{(8.107a)}& \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}\end{array}$$

的极限,若无论 $A_i$ 和 $P_i$ 如何选取,(8.107a) 的极限都存在,则该极限称为第一类线积分,函数 $f\left(x,y\right)$ 称为沿曲线 $C$ 可积:

$$\begin{array}{}\text{(8.107b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{s}_i\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}.\end{array}$$

类似地, 可对积分路径为空间曲线弧段上的三元函数定义第一类线积分:

$$\begin{array}{}\text{(8.107c)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}s=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{s}_i\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\mathrm{\Delta }{s}_{i-1}.\end{array}$$

8.3.1.2 存在定理

设有一连续曲线弧段 $C$ ,且 $C$ 有连续变化的切线,若函数 $f\left(x,y\right)$ 或 $f\left(x,y,z\right)$ 沿该曲线连续,则第一类线积分 (8.107b) 或 (8.107c) 存在,即无论 $A_i$ 和 $P_i$ 如何选取,前面的极限都存在. 此时称 $f\left(x,y\right)$ 或 $f\left(x,y,z\right)$ 沿该曲线 $C$ 可积.

8.3.1.3 第一类线积分的计算

为了计算第一类线积分, 可将其化为定积分.

1. 以参数形式给出的积分路径方程

若积分路径的方程为 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(8.108a)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right)\right]\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t.\end{array}$$

当积分路径为空间曲线 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),z=z\left(t\right)$ 时,

$$\begin{array}{}\text{(8.108b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}s={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[z^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t,\end{array}$$

其中 $t_0$ 是参数 $t$ 在点 $A$ 的值, $T$ 是参数 $t$ 在点 $B$ 的值, $A,B$ 的选取应满足 $t_0<T$ .

2. 以显形式 $y=y\left(x\right)$ 给出的积分路径方程

令 $t=x$ ,对于平面曲线情形,由 (8.108a),得

$$\begin{array}{}\text{(8.109a)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f\left[x,y\left(x\right)\right]\sqrt{1+{\left[y^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x,\end{array}$$

对于空间曲线情形, 由 (8.108b), 得

$$\begin{array}{}\text{(8.109b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f\left[x,y\left(x\right),z\left(x\right)\right]\sqrt{1+{\left[y^{\prime }\left(x\right)\right]}^2+{\left[z^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中 $a,b$ 分别为点 $A,B$ 的横坐标,且必须满足 $a<b$ . 若每个 $x$ 都对应于曲线段 $C$ 在 $x$ 轴投影上的一点,即曲线上的每一点由其横坐标唯一确定,则可把 $x$ 看成一个参数. 若不满足上述条件, 可把曲线段划分成满足该性质的子线段. 沿整条曲线段的线积分等于沿各个子曲线段的线积分之和.

8.3.1.4 第一类线积分的应用

表 8.6 列出了第一类线积分的一些应用. 表 8.7 列出了不同坐标系下计算线积分所用的曲线微元 $\mathrm{d}s$ .

曲线段 $C$ 的长	$L={\int }_{\left(C\right)}\mathrm{d}s$
质地不均匀的曲线段 $C$ 的质量	$M={\int }_{\left(C\right)}\varrho \mathrm{d}s\left(\varrho =f\left(x,y,z\right)\text{ 为密度函数 }\right)$
重心的坐标	$x_C=\frac{1}{L}{\int }_{\left(C\right)}x\varrho \mathrm{d}s,y_C=\frac{1}{L}{\int }_{\left(C\right)}y\varrho \mathrm{d}s,z_C=\frac{1}{L}{\int }_{\left(C\right)}z\varrho \mathrm{d}s$
平面曲线在 $xOy$ 面的转 动惯量	$I_x={\int }_{\left(C\right)}{x}^2\varrho \mathrm{d}s,I_y={\int }_{\left(C\right)}{y}^2\varrho \mathrm{d}s$
空间曲线关于坐标轴的 转动惯量	$I_x={\int }_{\left(C\right)}\left(y^2+z^2\right)\varrho \mathrm{d}s,I_y={\int }_{\left(C\right)}\left(x^2+z^2\right)\varrho \mathrm{d}s,$ $I_z={\int }_{\left(C\right)}\left(x^2+y^2\right)\varrho \mathrm{d}s$

$xOy$ 面中的平 面曲线	笛卡儿坐标 $x,y=y\left(x\right)$ 极坐标 $\phi ,\rho =\rho \left(\phi \right)$ , $x=\rho \left(\phi \right)\cos \phi ,y=\rho \left(\phi \right)\sin \phi$ 笛卡儿坐标系下的参数形式 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$	$\mathrm{d}s=\sqrt{1+{\left[y^{\prime }\left(x\right)\right]}^2}\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}s=\sqrt{{\rho }^2\left(\phi \right)+{\left[{\rho }^{\prime }\left(\phi \right)\right]}^2}\mathrm{d}\phi$ $\mathrm{d}s=\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t$
空间曲线	笛卡儿坐标系下的参数形式 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),z=z\left(t\right)$	$\mathrm{d}s=\sqrt{{\left[x^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[y^{\prime }\left(t\right)\right]}^2+{\left[z^{\prime }\left(t\right)\right]}^2}\mathrm{d}t$