5.6.2 同余关系、商代数

在对泛代数构造商结构时, 需要同余关系的概念. 同余关系是一个与结构相容的等价关系: 设 $A=\left(A,\left\{{\omega }^A\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\right\}\right)$ 是一个 $\mathrm{\Omega }$ 代数, $R$ 是 $A$ 中的一个等价关系. 如果对于所有 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n\left(n\in \mathbb{N}\right)$ 及所有使得 $a_{i}R{b}_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 的 $a_i,b_i\in A$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.278)}& {\omega }^A\left(a_1,\cdots ,a_n\right)R{\omega }^A\left(b_1,\cdots ,b_n\right),\end{array}$$

那么 $R$ 称为 $A$ 中的一个同余关系. 对于同余关系的等价类形成的集合 (商集),关于以代表元方式进行的计算也形成一个 $\mathrm{\Omega }$ 代数: 设 $A=\left(A,\left\{{\omega }^A\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\right\}\right)$ 是一个 $\mathrm{\Omega }$ 代数, $R$ 是 $A$ 中的一个同余关系. 商集 $A/R$ (参见第 448 页 5.2.4,2.,) 是一个具有下列运算 ${\omega }^{A/R}\left(\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n,n\in \mathbb{N}\right)$ 的 $\mathrm{\Omega }$ 代数:

$$\begin{array}{}\text{(5.279)}& {\omega }^{A/R}\left({\left[a_1\right]}_R,\cdots ,{\left[a_n\right]}_R\right)={\left[{\omega }^A(a_1,\cdots ,a_n)\right]}_R,\end{array}$$

并且将它称作 $A$ 对于 $B$ 的商代数.

群和环的同余关系可以分别用特殊的子结构——正规子群 (参见第 453 页 5.3.3.2, 2.) 和理想 (参见第 485 页 5.3.7.2) 定义. 一般地, 例如, 在半群中同余关系的这种刻画是不可能的.