4.1.6 向量范数和矩阵范数

向量和矩阵的范数可以看作数的绝对值的一般化. 于是,对于每个向量 $\underset{―}{x}$ 或矩阵 $\mathbf{A}$ ,分别赋予一个实数 $\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel (\underset{―}{\mathbf{x}}$ 的范数) 或 $\parallel \mathbf{A}\parallel (\mathbf{A}$ 的范数),这些数必须满足范数公理 (参见第 874 页 12.3.1,1). 对于向量 $\underset{―}{\mathbf{x}}\in {\mathbb{R}}^n$ ,它们是

(1) 对每个 $\underset{―}{\mathbf{x}},\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel \ge 0$ ; 当且仅当 $\underset{―}{\mathbf{x}}=\mathbf{0}$ 时 $\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel =0$ .(4.45)

(2) 对每个 $\underset{―}{x}$ 和每个实数 $\lambda ,\parallel \lambda \underset{―}{x}\parallel =\left|\lambda \right|\parallel \underset{―}{x}\parallel$ .(4.46)

(3) 对每个 $\underset{―}{x}$ 和 $\underset{―}{y},\parallel \underset{―}{x}+\underset{―}{y}\parallel \le \parallel \underset{―}{x}\parallel +\parallel \underset{―}{y}\parallel$ (三角形不等式) (还可参见第 242 页 3.5.1.1,1.).(4.47)

有多种不同的方法定义向量和矩阵的范数. 但由于实用, 最好定义矩阵范数 $\parallel \mathbf{A}\parallel$ 和向量范数 $\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel$ 使它们满足不等式

$$\begin{array}{}\text{(4.48)}& \parallel \mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}\parallel \le \parallel \mathbf{A}\parallel \parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel .\end{array}$$

这个不等式对于误差估计特别有用. 如果矩阵和向量范数满足这个不等式, 那么称它们是互相相容的. 如果对于矩阵 $\mathbf{A}$ 存在非零向量 $\underset{―}{\mathbf{x}}$ 使得 (4.48) 中等式成立,则称矩阵范数 $\parallel \mathbf{A}\parallel$ 从属于向量范数 $\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel$ .

4.1.6.1 向量范数

如果 $\underset{―}{\mathbf{x}}={(x_1,x_2,\cdots ,x_n)}^{\mathrm{T}}$ 是 $n$ 维实向量,即 $\underset{―}{\mathbf{x}}\in {\mathbb{R}}^n$ ,那么最常用的向量范数是

1. 欧氏范数

$$\begin{array}{}\text{(4.49)}& \parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel =\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}{\parallel }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}.\end{array}$$

2. 上确界范数或一致范数

$$\begin{array}{}\text{(4.50)}& \parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel =\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}\left|x_i\right|.\end{array}$$

3. 和范数

$$\begin{array}{}\text{(4.51)}& \parallel \underset{―}{\mathbf{x}}\parallel =\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}{\parallel }_1=\sum _{i=1}^n\left|x_i\right|.\end{array}$$

• 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中, $\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}{\parallel }_2$ 被考虑作为基本向量分析中向量 $\underset{―}{\mathbf{x}}$ 的大小. 数量 $\left|\underset{―}{\mathbf{x}}\right|=\parallel \underset{―}{\mathbf{x}}{\parallel }_2$ 给出向量 $\underset{―}{x}$ 的长度.

4.1.6.2 矩阵范数

1. 实矩阵的谱范数

$$\begin{array}{}\text{(4.52)}& \parallel \mathbf{A}\parallel =\parallel \mathbf{A}{\parallel }_2=\sqrt{{\lambda }_{max}\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)},\end{array}$$

其中 ${\lambda }_{max}\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)$ 表示矩阵 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}$ 的最大特征值 (参见第 421 页 4.6.1).

2. 行和范数

$$\begin{array}{}\text{(4.53)}& \parallel \mathbf{A}\parallel =\parallel \mathbf{A}{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}\sum _{j=1}^n\left|a_{ij}\right|.\end{array}$$

3. 列和范数

$$\begin{array}{}\text{(4.54)}& \parallel \mathbf{A}\parallel =\parallel \mathbf{A}{\parallel }_1=\underset{1\le j\le n}{max}\sum _{i=1}^n\left|a_{ij}\right|.\end{array}$$

可以证明矩阵范数 (4.52) 从属于向量范数 (4.49). 同样, (4.53) 从属于向量范数 (4.50), (4.54) 从属于向量范数 (4.51).