2.6.1 指数函数

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.54)}& y=a^x={\mathrm{e}}^{bx}\left(a>0,b=\ln a\right)\end{array}$$

称为指数函数,其图像为指数曲线 (图 2.26). 由 (2.54),令 $a=\mathrm{e}$ ,得到自然指数曲线的函数

$$\begin{array}{}\text{(2.55)}& y={\mathrm{e}}^x,\end{array}$$

该函数只取正值,定义域为 $\left(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\right)$ . 当 $a>1$ 即 $b>0$ 时,函数严格单调递增, 取值范围为 0 到 $+\mathrm{\infty }$ . 当 $a<1$ 即 $b<0$ 时,函数严格单调递减,取值范围为 $+\mathrm{\infty }$ 到 $0.\left|b\right|$ 越大,函数增加或减小的速度越快. 曲线过点(0,1),当 $b>0$ 时在左边渐近趋近 $x$ 轴,当 $b<0$ 时在右边渐近趋近 $x$ 轴,且 $\left|b\right|$ 越大,趋近 $x$ 轴的速度越快. 若 $a<1,y=a^{-x}={\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ 是增函数; 若 $a>1,y$ 是减函数.