10.3.2 变分法的欧拉微分方程

变分问题解的一个必要条件可以借助于对于由 (10.12) 所刻画的极值曲线 $y_0\left(x\right)$ 的一条辅助曲线(auxiliary curve) 或可比较曲线(comparable curve)

$$\begin{array}{}\text{(10.13)}& y\left(x\right)=y_0\left(x\right)+\epsilon \eta \left(x\right)\end{array}$$

来构造,其中 $\eta \left(x\right)$ 是满足特殊边界条件 $\eta \left(a\right)=\eta \left(b\right)=0$ 的一个二次连续可微函数; $\epsilon$ 是一个实参数. 把 (10.13) 代入 (10.11),代之以泛函 $I\left[y\right]$ 而得到一个依赖于 $\epsilon$ 的函数

$$\begin{array}{}\text{(10.14)}& I\left[\epsilon \right]={\int }_a^{b}F\left(x,y_0\left(x\right)+\epsilon \eta \left(x\right),y_0^{\prime }\left(x\right)+\epsilon {\eta }^{\prime }\left(x\right)\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

如果作为 $\epsilon$ 的函数, $I\left[\epsilon \right]$ 在 $\epsilon =0$ 处有一个极值,则泛函 $I\left[y\right]$ 在 $y_0\left(x\right)$ 处有一个极值. 把原变分问题归结为具有必要条件

$$\begin{array}{}\text{(10.15)}& \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\epsilon }=0,\text{ 当 }\epsilon =0\text{ 时 }\end{array}$$

的一个极值问题,并假设作为 3 个自变量的函数, $F$ 是按需要那样多次连续可微的, 那么借助于泰勒展开 (参见第 630 页 7.3.3.3) 即得

$$\begin{array}{}\text{(10.16)}& I\left[\epsilon \right]={\int }_a^b\left[F\left(x,y_0,y_0^{\prime }\right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left(x,y_0,y_0^{\prime }\right)\epsilon \eta +\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\left(x,y_0,y_0^{\prime }\right)\epsilon {\eta }^{\prime }+O\left({\epsilon }^2\right)\right]\mathrm{d}x.\end{array}$$

必要条件 (10.15) 导致方程

$$\begin{array}{}\text{(10.17)}& {\int }_a^b\eta \frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}x+{\int }_a^b{\eta }^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

这个方程的部分积分以及 $\eta \left(x\right)$ 的边界条件给出

$$\begin{array}{}\text{(10.18)}& {\int }_a^b\eta \left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

从连续性假设,以及因为对任何可考虑的 $\eta \left(x\right)\left(10.18\right)$ 中的积分皆为零知

$$\begin{array}{}\text{(10.19)}& \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0\end{array}$$

必须成立. 方程 (10.19) 给出了简单变分问题的必要条件(necessary condition for the simple variational problem), 并且它被称为变分法的欧拉微分方程(Euler differential equation of the calculus of variations). 微分方程 (10.19) 可以被

写成

$$\begin{array}{}\text{(10.20)}& \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y^{\prime }}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial y^{\prime }}{y}^{\prime }-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^{\prime 2}}{y}^{\prime \prime }=0.\end{array}$$

当 $F_{y^{\prime }{y}^{\prime }}\ne 0$ 时,这是一个二阶常微分方程.

在下面一些特殊情形中, 欧拉微分方程有一个简单的形式:

情形 $1F\left(x,y,y^{\prime }\right)=F\left(y^{\prime }\right)$ ,即 $F$ 中不显含 $x$ 和 $y$ . 此时取代 (10.19),成立

$$\begin{array}{}\text{(10.21a)}& \frac{\partial F}{\partial y}=0\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(10.21b)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0.\end{array}$$

情形 $2F\left(x,y,y^{\prime }\right)=F\left(y,y^{\prime }\right)$ ,即 $F$ 中不显含 $x$ . 由

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=\frac{\partial F}{\partial y}{y}^{\prime }+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{y}^{\prime \prime }-y^{\prime \prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}-y^{\prime }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=y^{\prime }\left(\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)\right),$$

(10.22a)

并由于 (10.19), 即得

$$\begin{array}{}\text{(10.22b)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0,\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(10.22c)}& F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=c\left(c\text{ 是常数 }\right)\end{array}$$

在 $F=F\left(y,y^{\prime }\right)$ 情形作为简单变分问题解的一个必要条件.

$◼\mathbf{A}$: 在 $x,y$ 平面中确定连接点 $P_1\left(a,A\right)$ 和 $P_2\left(b,B\right)$ 的最短曲线的泛函是

$$\begin{array}{}\text{(10.23a)}& I\left[y\right]={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x=min.\end{array}$$

从 $F=F\left(y^{\prime }\right)=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ 的(10.21b)即得

$$\begin{array}{}\text{(10.23b)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=\frac{y^{\prime \prime }}{{\left(\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right)}^3}=0,\end{array}$$

因而 $y^{\prime \prime }=0$ ,即,最短曲线是直线.

$◼\mathbf{B}$: 用曲线 $y\left(x\right)$ 连接点 $P_1\left(a,A\right)$ 和 $P_2\left(b,B\right)$ ,并将此曲线绕 $x$ 轴旋转,所得曲面的面积为

$$\begin{array}{}\text{(10.24a)}& I\left[y\right]=2\pi {\int }_a^{b}y\sqrt{1+y^{\prime 2}}\mathrm{d}x.\end{array}$$

哪条曲线 $y\left(x\right)$ 给出最小曲面面积? 从 $F=F\left(y,y^{\prime }\right)=2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ 的(10.22c)即得 $y=\frac{c}{2\pi }\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ 或 $y^{\prime 2}={\left(\frac{y}{c_1}\right)}^2-1$ ,其中 $c_1=\frac{c}{2\pi }$ . 此微分方程是可分离变量的 (参见第 763 页 9.2.2.3,1.), 因此其解为

$$\begin{array}{}\text{(10.24b)}& y=c_1\cosh \left(\frac{x}{c_1}+c_2\right)\left(c_1,c_2\text{ 是常数 }\right),\end{array}$$

这是所谓的悬链线(catenary curve)(参见第 139 页 2.15.1) 方程. 可以由边值 $y\left(a\right)=$ $A$ 和 $y\left(b\right)=B$ 来确定常数 $c_1$ 和 $c_2$ . 因而,这是要解一个非线性方程组 (参见第 1249 页 19.2.2), 而这并非对每个边值都能解.