13.2.6 梯度算子和拉普拉斯算子

13.2.6.1 梯度算子

符号算子 $\mathrm{\nabla }$ 被称为梯度算子 (nabla operator). 它的应用简化了空间微分算子的表达和运算. 在笛卡儿坐标系中有

$$\begin{array}{}\text{(13.67)}& \mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}.\end{array}$$

梯度算子的分量是偏微分算子,即符号 $\frac{\partial }{\partial x}$ 意味着关于 $x$ 的偏微商,其他变量被认为是常数.

在笛卡儿坐标系中关于空间微分算子 (spatial differential operators) 的公式可以由梯度算子与标量 $U$ 或与向量 $\overrightarrow{V}$ 的形式乘法来得到. 例如,在梯度、向量梯度、 散度 (gradient, vector gradient, divergence) 和旋度 (rotation) 算子的情形, 有

$$\begin{array}{}\text{(13.68a)}& \mathrm{grad}U=\mathrm{\nabla }U\left(U\text{的梯度 (参见第 926 页13.2.2)),}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.68b)}& \mathrm{grad}\overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{V}\text{的向量梯度 (参见第 928 页13.2.3)),}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.68c)}& \mathrm{div}\overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{V}\text{的散度 (参见第 928 页13.2.4)),}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.68d)}& \mathrm{rot}\overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{V}\text{的旋度(参见第 930 页 13.2.5)).}\right)\end{array}$$

13.2.6.2 梯度算子运算法则

(1) 如果 $\mathrm{\nabla }$ 置于系数 $a_i$ 与点函数 $X_i$ 的线性组合 $\sum a_i{X}_i$ 之前,则与这些函数是标量函数还是向量函数无关, 有公式:

$$\begin{array}{}\text{(13.69)}& \mathrm{\nabla }\left(\sum a_i{X}_i\right)=\sum a_i\mathrm{\nabla }{X}_i.\end{array}$$

(2) 如果 $\mathrm{\nabla }$ 作用于标量函数或向量函数的乘积,则 $\mathrm{\nabla }$ 必须顺次作用在每个函数上,其结果是它们之和. 函数符号上有 $\downarrow$ 者为被施行 $\mathrm{\nabla }$ 运算的函数

$$\mathrm{\nabla }\left(XYZ\right)=\mathrm{\nabla }\left(\dot{X}YZ\right)+\mathrm{\nabla }\left(X\dot{Y}Z\right)+\mathrm{\nabla }\left(XY\dot{Z}\right),$$

即

$$\begin{array}{}\text{(13.70)}& \mathrm{\nabla }\left(XYZ\right)=\left(\mathrm{\nabla }X\right)YZ+X\left(\mathrm{\nabla }Y\right)Z+XY\left(\mathrm{\nabla }Z\right).\end{array}$$

然后,乘积必须根据向量代数进行变化,因为算子 $\mathrm{\nabla }$ 只作用在符号 $\downarrow$ 下的一个函数上. 经过计算后就删去符号 $\downarrow$ .

$$\text{A:}{}^{\text{①}}\mathrm{grad}\left(U\overrightarrow{V}\right)=\mathrm{\nabla }\left(U\overrightarrow{V}\right)=\mathrm{\nabla }\left(\overrightarrow{U}\overrightarrow{V}\right)+\mathrm{\nabla }\left(U\dot{\overrightarrow{V}}\right)=\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{\nabla }U+U\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}=$$

$\overrightarrow{V}\cdot \mathrm{grad}U+U\mathrm{div}\overrightarrow{V}$ . B: $\mathrm{grad}\left({\overrightarrow{V}}_1{\overrightarrow{V}}_2\right)=\mathrm{\nabla }\left({\overrightarrow{V}}_1{\overrightarrow{V}}_2\right)=\mathrm{\nabla }\left({\dot{\overrightarrow{V}}}_1{\overrightarrow{V}}_2\right)+\mathrm{\nabla }\left({\overrightarrow{V}}_1{\dot{\overrightarrow{V}}}_2\right)$ . 因为 $\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\right)=\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\times$ $\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)$ ,即得 $\mathrm{grad}\left({\overrightarrow{V}}_1{\overrightarrow{V}}_2\right)=\left({\overrightarrow{V}}_2\mathrm{\nabla }\right){\overrightarrow{V}}_1+{\overrightarrow{V}}_2\times \left(\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{V}}_1\right)+\left({\overrightarrow{V}}_1\mathrm{\nabla }\right){\overrightarrow{V}}_2+{\overrightarrow{V}}_1\times \left(\mathrm{\nabla }\times {\overrightarrow{V}}_2\right)=$ $\left({\overrightarrow{V}}_2\text{grad}\right){\overrightarrow{V}}_1+{\overrightarrow{V}}_2\times \mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_1+\left({\overrightarrow{V}}_1\text{grad}\right){\overrightarrow{V}}_2+{\overrightarrow{V}}_1\times \mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_2$ .

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①原文将此式最左端的 grad 误为 div.——译者注

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13.2.6.3 向量梯度

向量梯度 $\mathrm{grad}\overrightarrow{V}$ 用梯度算子表示为

$$\begin{array}{}\text{(13.71a)}& \mathrm{grad}\overrightarrow{V}=\mathrm{\nabla }\overrightarrow{V}\end{array}$$

在向量梯度 $\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{\nabla }\right)\overrightarrow{V}$ (参见第 925 页 (13.32b)) 中出现的表达式有形式:

$$\begin{array}{}\text{(13.71b)}& 2\left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{\nabla }\right)\overrightarrow{V}=\mathrm{rot}\left(\overrightarrow{V}\times \overrightarrow{a}\right)+\mathrm{grad}\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{V}\right)+\overrightarrow{a}\mathrm{div}\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V}\mathrm{div}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\times \mathrm{rot}\overrightarrow{V}-\overrightarrow{V}\times \mathrm{rot}\overrightarrow{a}\end{array}$$

特别地,对于 $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ 得到

$$\begin{array}{}\text{(13.71c)}& \left(\overrightarrow{a}\cdot \mathrm{\nabla }\right)\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}.\end{array}$$

13.2.6.4 作用两次的梯度算子

对于每个场 $\overrightarrow{V}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(13.72)}& \mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}\right)=\mathrm{div}\mathrm{rot}\overrightarrow{V}\equiv 0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.73)}& \mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }U\right)=\mathrm{rot}\mathrm{grad}U\equiv \overrightarrow{0},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.74)}& \mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }U\right)=\mathrm{div}\mathrm{grad}U=\mathrm{\Delta }U.\end{array}$$

13.2.6.5 拉普拉斯算子

1. 定义

梯度算子与其自身的内积被称为拉普拉斯算子 (Laplace operator):

$$\begin{array}{}\text{(13.75)}& \mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}^2.\end{array}$$

拉普拉斯算子不是向量. 它表示二阶偏导数之和. 它既能作用于标量函数, 也能作用于向量函数. 它对于向量函数的作用是分量式的, 其结果为向量.

拉普拉斯算子是一个不变量 (invariant), 即它在坐标系的平移和/或旋转下是不变的.

2. 不同坐标系中关于拉普拉斯算子的公式

这里,把拉普拉斯算子应用于标量点函数 $U\left(\overrightarrow{r}\right)$ . 此时结果也是标量. 把拉普拉斯算子应用于向量函数 $\overrightarrow{V}\left(\overrightarrow{r}\right)$ ,产生一个具有分量 $\mathrm{\Delta }{V}_x,\mathrm{\Delta }{V}_y,\mathrm{\Delta }{V}_z$ 的向量 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{V}$ .

(1)笛卡儿坐标系中的拉普拉斯算子

$$\begin{array}{}\text{(13.76)}& \mathrm{\Delta }U\left(x,y,z\right)=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}.\end{array}$$

(2)柱面坐标系中的拉普拉斯算子

$$\begin{array}{}\text{(13.77)}& \mathrm{\Delta }U\left(\rho ,\phi ,z\right)=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial U}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}.\end{array}$$

(3)球面坐标系中的拉普拉斯算子

$$\begin{array}{}\text{(13.78)}& \mathrm{\Delta }U\left(r,\vartheta ,\phi \right)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left(\sin \vartheta \frac{\partial U}{\partial \vartheta }\right)+\frac{1}{r^2\sin \vartheta }\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\phi }^2}.\end{array}$$

(4)一般直角坐标系中的拉普拉斯算子

$$\mathrm{\Delta }U\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=\frac{1}{D}\left[\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\frac{D}{{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \xi }\right|}^2}\frac{\partial U}{\partial \xi }\right)+\frac{\partial }{\partial \eta }\left(\frac{D}{{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }\right|}^2}\frac{\partial U}{\partial \eta }\right)+\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\frac{D}{{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \zeta }\right|}^2}\frac{\partial U}{\partial \zeta }\right)\right],$$

(13.79a)

其中

$$\begin{array}{}\text{(13.79b)}& \overrightarrow{r}\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)=x\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{i}+y\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{j}+z\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)\overrightarrow{k},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.79c)}& D=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \xi }\right|\cdot \left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \eta }\right|\cdot \left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \zeta }\right|.\end{array}$$

3. 梯度算子和拉普拉斯算子之间的特殊关系

$$\begin{array}{}\text{(13.80)}& \mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}\right)=\mathrm{grad}\mathrm{div}\overrightarrow{V}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.81)}& \mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}\right)=\mathrm{rot}\mathrm{rot}\overrightarrow{V}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(13.82)}& \mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{V}\right)-\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{V}\right)=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{V},\end{array}$$

其中

$$△\overrightarrow{V}=\left(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\right)\overrightarrow{V}=△{\overrightarrow{V}}_x\overrightarrow{i}+△{\overrightarrow{V}}_y\overrightarrow{j}+△{\overrightarrow{V}}_z\overrightarrow{k}=\left(\frac{{\partial }^2{V}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{V}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{V}_x}{\partial z^2}\right)\overrightarrow{i}$$$$\begin{array}{}\text{(13.83)}& +\left(\frac{{\partial }^2{V}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{V}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{V}_y}{\partial z^2}\right)\overrightarrow{j}+\left(\frac{{\partial }^2{V}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{V}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{V}_z}{\partial z^2}\right)\overrightarrow{k}\text{.}\end{array}$$