3.1.5 平面上的多边形

3.1.5.1 一般多边形

由直线段作为边所围成的一个封闭平面图形可以分解成 $n-2$ 个三角形 (图 3.22). 其外角 ${\beta }_i$ 之和,内角 ${\gamma }_i$ 之和,以及对角线数是

$$\begin{array}{}\text{(3.44)}& \sum _{i=1}^n{\beta }_i={360}^{\circ },\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.45)}& \sum _{i=1}^n{\gamma }_i={180}^{\circ }\left(n-2\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.46)}& D=\frac{n\left(n-3\right)}{2}.\end{array}$$

3.1.5.2 正凸多边形

正凸多边形 (图 3.23) 具有 $n$ 条相等的边和 $n$ 个相等的角. 边的中垂线的交点是半径分别为 $r$ 和 $R$ 的内切圆和外接圆的中心 $M$ . 这些多边形的边是内切圆的切线和外接圆的弦. 它们对于内切圆来说形成一个外切多边形或切线多边形, 而就外接圆而言形成一个内接多边形. 分解一个正凸 $n$ 边形将得到 $n$ 个环绕中心 $M$ 的等腰全等三角形.

中心角

$$\begin{array}{}\text{(3.47)}& {\phi }_n=\frac{{360}^{\circ }}{n}.\end{array}$$

底角

$$\begin{array}{}\text{(3.48)}& {\alpha }_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdot {90}^{\circ }.\end{array}$$

外角

$$\begin{array}{}\text{(3.49)}& {\beta }_n=\frac{{360}^{\circ }}{n}.\end{array}$$

内角

$$\begin{array}{}\text{(3.50)}& {\gamma }_n={180}^{\circ }-{\beta }_n.\end{array}$$

外接圆半径

$$\begin{array}{}\text{(3.51)}& R=\frac{a_n}{2\sin \frac{{180}^{\circ }}{n}},R^2=r^2+\frac{1}{4}{a}_n^2.\end{array}$$

内切圆半径

$$\begin{array}{}\text{(3.52)}& r=\frac{a_n}{2}\cot \frac{{180}^{\circ }}{n}=R\cos \frac{{180}^{\circ }}{n}.\end{array}$$

边长

$$\begin{array}{}\text{(3.53)}& a_n=2\sqrt{R^2-r^2}=2R\sin \frac{{\phi }_n}{2}=2r\tan \frac{{\phi }_n}{2}.\end{array}$$

周长

$$\begin{array}{}\text{(3.54)}& U=n{a}_n.\end{array}$$

$2n$ 边形的边长

$$\begin{array}{}\text{(3.55)}& a_{2n}=R\sqrt{2-2\sqrt{1-{\left(\frac{a_n}{2R}\right)}^2}},a_n=a_{2n}\sqrt{4-\left(\frac{a_{2n}^2}{R^2}\right)}.\end{array}$$

$n$ 边形的面积

$$\begin{array}{}\text{(3.56)}& S_n=\frac{1}{2}n{a}_{n}r=n{r}^2\tan \frac{{\phi }_n}{2}=\frac{1}{2}n{R}^2\sin {\phi }_n=\frac{1}{4}n{a}_n^2\cot \frac{{\phi }_n}{2}.\end{array}$$

$2n$ 边形的面积

$$\begin{array}{}\text{(3.57)}& S_{2n}=\frac{n{R}^2}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\sqrt{\frac{4S_n^2}{n^2{R}^4}}},S_n=S_{2n}\sqrt{1-\frac{S_{2n}^2}{n^2{R}^4}}.\end{array}$$

3.1.5.3 某些正凸多边形

已将某些正凸多边形的性质汇集在表 3.2 中.

五边形和五角星形值得特别注意, 据信梅塔蓬图姆的希帕索斯 (约公元前 450) 通过这些多边形的性质 (参见第 2 页 1.1.1.2) 认识到无理数. 下面的例子对此作了讨论.

$◼$正五边形的对角线 (图 3.24) 构成一个内接五角星形. 它的边又围成一个正五边形. 在正五边形中,对角线和边之比等于边和 (对角线 - 边) 之比: $a_0:a_1=a_1$ : $\left(a_0-a_1\right)=a_1:a_2$ ,其中 $a_2=a_0-a_1$ .

考虑越来越小的嵌套五边形并有 $a_3=a_1-a_2,a_4=a_2-a_3,\cdots$ 以及 $a_2<a_1$ , $a_3<a_2,a_4<a_3,\cdots$ ,得到 $a_0:a_1=a_1:a_2=a_2:a_3=a_3:a_4=\cdots$ . 对于 $a_0$ 和 $a_1$ 来说这个欧几里得算法永远不会终止,因为 $a_0=1\cdot a_1+a_2,a_1=1\cdot a_2+a_3$ , $a_2=1\cdot a_3+a_4,\cdots$ ,因此 $q_n=1$ . 正五边形的边 $a_1$ 和对角线 $a_0$ 是不可公度的. 由 $a_0:a_1$ 所确定的连分数与第 5 页,1.1.1.4,3., $◼\mathrm{B}$ 中的黄金分割完全相同,即它导致一个无理数.

正多边形	$a_n$	$R$	$r$	$S_n$
三边形	$a_3=R\sqrt{3}=2r\sqrt{3}$	$=\frac{a^3}{3}\sqrt{3}=2r=\frac{2}{3}h$ $h=\frac{a_3}{2}\sqrt{3}=\frac{3}{2}R$	$=\frac{a^3}{6}\sqrt{3}=\frac{R}{2}=\frac{1}{3}h$	$=\frac{a_3^2}{4}\sqrt{3}=\frac{3R^2}{4}\sqrt{3}$ $=3r^2\sqrt{3}$
五边形	$a_5=\frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ $=2r\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$=\frac{a_5}{10}\sqrt{50+10\sqrt{5}}$ $=r\left(\sqrt{5}-1\right)$	$=\frac{a_5}{10}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$ $=\frac{R}{4}\left(\sqrt{5}+1\right)$	$=\frac{a_5^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$ $=\frac{5R^2}{8}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ $=5r^2\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
六边形	$a_6=\frac{2}{3}r\sqrt{3}$	$=\frac{2}{3}r\sqrt{3}$	$=\frac{R}{2}\sqrt{3}$	$=\frac{3a_6^2}{2}\sqrt{3}=\frac{3R^2}{2}\sqrt{3}$ $=2r^2\sqrt{3}$
八边形	$a_8=R\sqrt{2-\sqrt{2}}$ $=2r\left(\sqrt{2}-1\right)$	$=\frac{a_8}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ $=r\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$=\frac{a_8}{2}\left(\sqrt{2}+1\right)$ $=\frac{R}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$	$=2a_8^2\left(\sqrt{2}+1\right)$ $=2R^2\sqrt{2}$ $=8r^2\left(\sqrt{2-1}\right)$
十边形	$a_{10}=\frac{R}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)$ $=\frac{2r}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}}$	$=\frac{a_{10}}{2}\left(\sqrt{5}+1\right)$ $=\frac{r}{5}\sqrt{50-10\sqrt{5}}$	$=\frac{a_{10}}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$ $=\frac{R}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$	$=\frac{5a_{10}^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$ $=\frac{5R^2}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ $=2r^2\sqrt{25-10\sqrt{5}}$