8.1.2 积分法则

以任意初等函数作为被积函数的积分通常不是初等函数. 在某些特殊情况下, 有可能要采用一些技巧并通过反复实践才知道如何积分. 当今积分的计算基本上都可在计算机上进行.

1. 具有常因子的积分

在被积函数中常因子 $\alpha$ 可以提到积分号的前面 (常数倍乘法则):

$$\begin{array}{}\text{(8.3)}& \int \alpha f\left(x\right)\mathrm{d}x=\alpha \int f\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

2. 和或差的积分

若各项积分分别已知, 则和或差的积分可以化为各项积分的和或差 (和法则):

$$\begin{array}{}\text{(8.4)}& \int \left(u+v-w\right)\mathrm{d}x=\int u\mathrm{d}x+\int v\mathrm{d}x-\int w\mathrm{d}x,\end{array}$$

$u,v,w$ 均为 $x$ 的函数.

$$◼\int {(x+3)}^2\left(x^2+1\right)\mathrm{d}x=\int \left(x^4+6x^3+10x^2+6x+9\right)\mathrm{d}x=\frac{x^5}{5}+\frac{3}{2}{x}^4+\frac{10}{3}{x}^3+$$

$3x^2+9x+C$ .

3. 被积函数的变换

对被积函数比较复杂的积分, 有时可利用代数变换或三角变换化简.

$$◼\int \sin 2x\cos x\mathrm{d}x=\int \frac{1}{2}\left(\sin 3x+\sin x\right)\mathrm{d}x.$$

4. 自变量的线性变换

例如,若已知 $\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(x\right)$ ,由积分表,有

$$\begin{array}{}\text{(8.5a)}& \int f\left(ax\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F\left(ax\right)+C,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.5b)}& \int f\left(x+b\right)\mathrm{d}x=F\left(x+b\right)+C,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.5c)}& \int f\left(ax+b\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: $\int \sin ax\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\cos ax+C.$

$◼\mathbf{B}$: $\int {\mathrm{e}}^{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax+b}+C.$

$◼\mathbf{C}$: $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{(x+a)}^2}=\arctan \left(x+a\right)+C.$

法则	积分公式
积分常数	$\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C\left(C\text{ 为常数 }\right)$
积分和微分	$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=f\left(x\right)$
常数倍乘法则	$\int \alpha f\left(x\right)\mathrm{d}x=\alpha \int f\left(x\right)\mathrm{d}x\left(\alpha \text{ 为常数 }\right)$
和法则	$\int \left[u\left(x\right)\pm v\left(x\right)\right]\mathrm{d}x=\int u\left(x\right)\mathrm{d}x\pm \int v\left(x\right)\mathrm{d}x$
分部积分	$\int u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x$
代换法	$x=u\left(t\right)$ 或 $t=v\left(x\right);$ $u,v$ 互为反函数 : $\begin{array}{l}\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int f\left(u\left(t\right)\right)u^{\prime }\left(t\right)\\ \int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int \frac{f\left(u\left(t\right)\right)}{v^{\prime }\left(u\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t\end{array}$
被积函数的特殊形式	(1) $\int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=\ln \left|f\left(x\right)\right|+C\left(\text{对}\right)$
反函数积分	$u,v$ 互为反函数 : $\int u\left(x\right)\mathrm{d}x=xu\left(x\right)-F\left(u\left(x\right)\right)+C_1,$ 其中 $F\left(x\right)=\int v\left(x\right)\mathrm{d}x+C_2\left(C_1,C_2\text{ 为常数 }\right)$

5. 幂积分与对数积分

a) 若被积函数为分数形式, 且满足分子是分母的导数, 则积分结果为分母绝对值的对数:

$$\begin{array}{}\text{(8.6)}& \int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}f\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\ln \left|f\left(x\right)\right|+C.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: $\int \frac{2x+3}{x^2+3x-5}\mathrm{d}x=\ln \left|x^2+3x-5\right|+C.$

b) 若被积函数为一个函数的方幂与该函数导数的乘积, 且方幂不等于 -1 , 则

$$\begin{array}{}\text{(8.7)}& \int f^{\prime }\left(x\right)f^{\alpha }\left(x\right)\mathrm{d}x=\int f^{\alpha }\left(x\right)\mathrm{d}f\left(x\right)=\frac{f^{\alpha +1}\left(x\right)}{\alpha +1}+C\left(\alpha \text{ 为常数且 }\alpha \ne -1\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: $\int \frac{2x+3}{{(x^2+3x-5)}^3}\mathrm{d}x=\frac{1}{\left(-2\right){(x^2+3x-5)}^2}+C$ .

6. 代换法

若 $x=u\left(t\right),t=v\left(x\right)$ 是它的反函数,则根据微分链式法则,有

$$\begin{array}{}\text{(8.8)}& \int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int f\left(u\left(t\right)\right)u^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\text{ 或 }\int f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int \frac{f\left(u\left(t\right)\right)}{v^{\prime }\left(u\left(t\right)\right)}\mathrm{d}t.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: $\int \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x$ . 作代换 $x=\ln t\left(t>0\right)$ ,则 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{t}$ ,且被积函数能分解成两个部分分式:

$$\int \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x=\int \frac{t-1}{t+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}=\int \left(\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t=2\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)-x+C.$$

$◼\mathbf{B}$: $\int \frac{x\mathrm{d}x}{1+x^2}$ . 作代换 $1+x^2=t$ ,则 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2x$ ,故 $\int \frac{x\mathrm{d}x}{1+x^2}=\int \frac{\mathrm{d}t}{2t}=$$\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+C$

7. 分部积分

作为积的微分法则的逆运算, 有

$$\begin{array}{}\text{(8.9)}& \int u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

其中 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 具有连续导数.

$◼$: 对于积分 $\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ ,可令 $u=x,v^{\prime }={\mathrm{e}}^x$ ,再利用分部积分计算,有 $u^{\prime }=1,v={\mathrm{e}}^x$ , 因此 $\int x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=x{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^x+C$ .

8. 非初等积分

初等函数的积分并不总是初等函数, 它们的积分计算方法大致分为下面三种, 其中的原函数按某一给定精度近似.

(1)值表 对于那些具有非常重要的理论与现实意义但却无法用初等函数来表示的积分, 可以用值表给出. (当然, 表格只列出某一特殊原函数的值.) 这样的特殊函数往往具有特殊的名称, 例如:

$◼\mathbf{A}$:对数积分 (参见第 681 页8.2.5,3.)

$$\begin{array}{}\text{(8.10)}& {\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}=\mathrm{Li}\left(x\right)\end{array}$$

§III 第一类椭圆积分 (参见第 653 页 8.1.4.3)

$$\begin{array}{}\text{(8.11)}& {\int }_0^{\sin \phi }\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2{x}^2\right)}}=F\left(k,\phi \right).\end{array}$$

$◼\mathbf{C}$:误差函数 (参见第 681 页8.2.5,5.)

$$\begin{array}{}\text{(8.12)}& \frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\mathrm{erf}\left(x\right).\end{array}$$

(2) 利用级数展开式求积分 由被积函数的级数展开式, 若其一致收敛, 则可逐项积分.

$◼\mathbf{A}$: $\int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ (也可参见第 681 页的正弦积分).

$◼\mathbf{B}$: $\int \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\mathrm{d}x$ (也可参见第 681 页的指数积分).

(3) 图形积分法 是第三种近似方法, 将会在 664 页 8.2.1.4, 5. 加以讨论.