1.6.2 不高于四次的方程

1.6.2.1 一次方程 (线性方程)

1. 正规形式

$$\begin{array}{}\text{(1.146)}& ax+b=0\left(a\ne 0\right).\end{array}$$

2. 解的个数

方程有唯一解

$$\begin{array}{}\text{(1.147)}& x_1=-\frac{b}{a}.\end{array}$$

1.6.2.2 二次方程 (平方方程)

1. 正规形式

$$\begin{array}{}\text{(1.148a)}& a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)\end{array}$$

或者除以 $a$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.148b)}& x^2+px+q=0.\end{array}$$

2. 实方程的实根个数

实方程的实根个数取决于判别式

$$D=4ac-b^2\text{ 对于 }\left(1.148\mathrm{a}\right)$$

或者

$$\begin{array}{}\text{(1.149)}& D=q-\frac{p^2}{4}\text{ 对于 }\left(1.148\mathrm{b}\right)\end{array}$$

的符号, 有以下三种情况:

• 当 $D<0$ 时,有两个实数解 (两个实根),

• 当 $D=0$ 时,有一个实数解 (两个相同的根),

• 当 $D>0$ 时,没有实数解 (两个复根).

3. 二次方程根的性质

若 $x_1$ 和 $x_2$ 是二次方程 (1.148a) 或 (1.148b) 的根,则下述等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(1.150)}& x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-p,x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=q.\end{array}$$

4. 二次方程的解

方法 1 若方程可因式分解为

$$\begin{array}{}\text{(1.151a)}& a{x}^2+bx+c=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.151b)}& x^2+px+q=\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right),\end{array}$$

即得其根

$$\begin{array}{}\text{(1.152)}& x_1=\alpha ,x_2=\beta .\end{array}$$

$x^2+x-6=0,x^2+x-6=\left(x+3\right)\left(x-2\right),x_1=-3,x_2=2.$

方法 2 当 $D\le 0$ 时,使用求根公式:

a) 对于 (1.148a), 方程的解是

$$\begin{array}{}\text{(1.153a)}& x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.153b)}& x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac}}{a}.\end{array}$$

若 $b$ 是偶数,可使用第二个公式.

b) 对于 (1.148b), 方程的解是

$$\begin{array}{}\text{(1.154)}& x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}.\end{array}$$

1.6.2.3 三次方程 (立方方程)

1. 正规形式

$$\begin{array}{}\text{(1.155a)}& a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0\left(a\ne 0\right)\end{array}$$

或者除以 $a$ ,进行变量替换 $y=x+\frac{b}{3a}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(1.155b)}& y^3+3py+2q=0\text{ 或简记为 }{y}^3+p^{\ast }y+q^{\ast }=0,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(1.155c)}& q^{\ast }=2q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a},p^{\ast }=3p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}.\end{array}$$

2. 实根个数

实根个数取决于判别式

$$\begin{array}{}\text{(1.156)}& D=q^2+p^3\end{array}$$

的符号, 有以下三种情况:

• 当 $D>0$ 时,有一个实数解 (一个实根,两个复根);

• 当 $D<0$ 时,有三个实数解 (三个不同的实根);

• 当 $D=0$ 时,若 $p=q=0$ ,有一个实数解 (一个三重实根); 若 $p^3=-q^2\ne 0$ ,有两个实数解 (一个单根, 一个二重实根).

3. 三次方程根的性质

若 $x_1,x_2$ 和 $x_3$ 是三次方程 (1.155a) 的根,则下述等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(1.157)}& x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}.\end{array}$$

4. 三次方程的解

方法 1 若方程左边可分解为一次项之积

$$\begin{array}{}\text{(1.158a)}& a{x}^3+b{x}^2+cx+d=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\left(x-\gamma \right),\end{array}$$

即得其根

$$\begin{array}{}\text{(1.158b)}& x_1=\alpha ,x_2=\beta ,x_3=\gamma .\end{array}$$

$x^3+x^2-6x=0,x^3+x^2-6x=x\left(x+3\right)\left(x-2\right);x_1=0,x_2=-3,x_3=2$ .

方法 2 使用卡尔达诺公式. 进行变量替换 $y=u+v$ ,则方程 (1.155b) 形如

$$\begin{array}{}\text{(1.159a)}& u^3+v^3+\left(u+v\right)\left(3uv+3p\right)+2q=0.\end{array}$$

若有

$$\begin{array}{}\text{(1.159b)}& u^3+v^3=-2q,uv=-p\end{array}$$

方程显然成立. 把 (1.159b) 式记为形式

$$\begin{array}{}\text{(1.159c)}& u^3+v^3=-2q,u^3{v}^3=-p^3,\end{array}$$

则有两个未知量 $u^3$ 和 $v^3$ ,其和与积是已知的. 因此,使用韦达定理 (参见第 51 页 $1.6.2.2,3.)$ ,可求出二次方程

$$\begin{array}{}\text{(1.159d)}& w^2-\left(u^3+v^3\right)w+u^3{v}^3=w^2+2qw-p^3=0\end{array}$$

的解:

$$\begin{array}{}\text{(1.159e)}& w_1=u^3=-q+\sqrt{q^2+p^3},w_2=v^3=-q-\sqrt{q^2+p^3},\end{array}$$

故对于(1.155b)式的解 $y$ ,由卡尔达诺公式有

$$\begin{array}{}\text{(1.159f)}& y=u+v=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}.\end{array}$$

由于复数的立方根即三个不同的数 (参见第 48 页 (1.141b)), 所以上式有 9 种不同的情形,但由于 $uv=-p$ ,其解可简化为下述三种情况:

$y_1=u_1+v_1$ (若有可能,考虑 $u_1$ 和 $v_1$ 的实立方根,使得 $u_1{v}_1=-p$ ),(1.159g)

$$\begin{array}{}\text{(1.159h)}& y_2=u_1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\cdot \sqrt{3}\right)+v_1\left(-\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\cdot \sqrt{3}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.159i)}& y_3=u_1\left(-\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}\cdot \sqrt{3}\right)+v_1\left(-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\cdot \sqrt{3}\right).\end{array}$$

If $y^3+6y+2=0,p=2,q=1$ ,且 $q^2+p^3=9.u=\sqrt[3]{-1+3}=\sqrt[3]{2}=1.2599$ , $v=\sqrt[3]{-1-3}=\sqrt[3]{-4}=-1.5874$ . 实根是 $y_1=u+v=-0.3275$ ,复根是

$$y_{2,3}=-\frac{1}{2}\left(u+v\right)\pm \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\left(u-v\right)=0.1638\pm \mathrm{i}\cdot 2.4659.$$

方法 3 对于实方程,可使用表 1.3 中列出的辅助值. 对于 (1.155b) 式的 $p$ , 进行替换

$$\begin{array}{}\text{(1.160)}& r=\pm \sqrt{\left|p\right|},\end{array}$$

其中, $r$ 的符号与 $q$ 的符号相同. 然后使用表 1.3,可求出辅助变量 $\phi$ 的值,由表可知,根 $y_1,y_2$ 和 $y_3$ 取决于 $p$ 和 $D=q^2+p^3$ 的符号.

$p<0$		$p>0$
$q^2+p^3\le 0$	$q^2+p^3>0$
$\cos \phi =\frac{q}{r^3}$	$\cosh \phi =\frac{q}{r^3}$	$\sinh \phi =\frac{q}{r^3}$
$y_1=-2r\cos \frac{\phi }{3}$	$y_1=-2r\cosh \frac{\phi }{3}$	$y_1=-2r\sinh \frac{\phi }{3}$
$y_2=+2r\cos \left({60}^{\circ }-\frac{\phi }{3}\right)$	$y_2=r\cosh \frac{\phi }{3}+\mathrm{i}\sqrt{3}r\sinh \frac{\phi }{3}$	$y_2=r\sinh \frac{\phi }{3}+\mathrm{i}\sqrt{3}r\cosh \frac{\phi }{3}$
$y_3=+2r\cos \left({60}^{\circ }+\frac{\phi }{3}\right)$	$y_3=r\cosh \frac{\phi }{3}-\mathrm{i}\sqrt{3}r\sinh \frac{\phi }{3}$	$y_3=r\sinh \frac{\phi }{3}-\mathrm{i}\sqrt{3}r\cosh \frac{\phi }{3}$

$◼y^3-9y+4=0.p=-3,q=2,q^2+p^3<0,r=\sqrt{3},\cos \phi =\frac{2}{3\sqrt{3}}=0.3849,\phi =$ ${67}^{\circ }{22}^{\prime }.y_1=-2\sqrt{3}\cos {22}^{\circ }{27}^{\prime }=-3.201,y_2=2\sqrt{3}\cos \left({60}^{\circ }-{22}^{\circ }{27}^{\prime }\right)=2.747,y_3=$ $2\sqrt{3}\cos \left({60}^{\circ }+{22}^{\circ }{27}^{\prime }\right)=0.455.$

检验: 考虑到计算精度, $y_1+y_2+y_3=0.001$ 可视为 0 .

方法 4 数值近似解见第 1237 页 19.1.2; 求数值近似解, 参见第 167 页 2.19.3.3, 可借助算图.

1.6.2.4 四次方程

1. 正规形式

$$\begin{array}{}\text{(1.161)}& a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0\left(a\ne 0\right).\end{array}$$

若系数全为实数, 则方程没有或有两个或四个实根.

2. 特殊形式

若 $b=d=0$ 成立,则双二次方程

$$\begin{array}{}\text{(1.162a)}& a{x}^4+c{x}^2+e=0\end{array}$$

的根可利用公式

$$\begin{array}{}\text{(1.162b)}& x_{1,2,3,4}=\pm \sqrt{y},y=\frac{-c\pm \sqrt{c^2-4ae}}{2a}\end{array}$$

计算. 对于 $a=e$ 和 $b=d$ ,方程

$$\begin{array}{}\text{(1.162c)}& a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0\end{array}$$

的根可利用公式

$$\begin{array}{}\text{(1.162d)}& x_{1,2,3,4}=\frac{y\pm \sqrt{y^2-4}}{2},y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac+8a^2}}{2a}\end{array}$$

计算.

3. 一般四次方程的解

方法 1 若方程左边可以某种方式因式分解为

$$\begin{array}{}\text{(1.163a)}& a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\left(x-\gamma \right)\left(x-\delta \right),\end{array}$$

即得其根

$$\begin{array}{}\text{(1.163b)}& x_1=\alpha ,x_2=\beta ,x_3=\gamma ,x_4=\delta .\end{array}$$

$3x^4-2x^3-x^2+2x=0,x\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right);$

$$x_1=0,x_2=1,x_3=-1,x_4=2.$$

方法 2 当 $a=1$ 时,方程 (1.163a) 的根与方程

$$\begin{array}{}\text{(1.164a)}& x^2+\left(b+A\right)\frac{x}{2}+\left(y+\frac{by-d}{A}\right)=0\end{array}$$

的根相同. 其中, $A=\pm \sqrt{8y+b^2-4c},y$ 是三次方程

$$\begin{array}{}\text{(1.164b)}& 8y^3-4c{y}^2+\left(2bd-8e\right)y+e\left(4c-b^2\right)-d^2=0\end{array}$$

的一个实根,且 $B=\frac{b^3}{8}-\frac{bc}{2}\ne 0$ . 当 $B=0$ 时,借助变量替换 $x=u-\frac{b}{4}$ ,可生成关于 $u$ 且 $a=1$ 的双二次方程 (1.162a).

方法 3 近似解, 参见第 1237 页 19.1.2.

1.6.2.5 高次方程

对于一般的五次及以上的方程, 不存在求根公式 (也可参见第 1237 页, 19.1.2).