2.12.6 双纽线

双纽线(图 2.66) 是卡西尼曲线的特殊情况, 满足条件

$$\begin{array}{}\text{(2.240)}& \overline{F_{1}P}\cdot \overline{F_{2}P}={\left(\frac{\overline{F_1{F}_2}}{2}\right)}^2,\end{array}$$

定点 $F_1,F_2$ 坐标为 $\left(\pm a,0\right)$ . 曲线在笛卡儿坐标系下的方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.241a)}& {(x^2+y^2)}^2-2a^2\left(x^2-y^2\right)=0\left(a>0\right),\end{array}$$

极坐标方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.241b)}& \rho =a\sqrt{2\cos 2\phi }\left(a>0\right).\end{array}$$

原点为一个二重点,同时也为拐点,此处的切线方程为 $y=\pm x$ .

与 $x$ 轴交点 $A,C$ 的坐标为 $\left(\pm a\sqrt{2},0\right)$ ,曲线极值点 $E,G,K,I$ 的坐标为 $\left(\pm \frac{a\sqrt{3}}{2},\pm \frac{a}{2}\right)$ ,极值点处极角 $\phi =\pm \frac{\pi }{6}$ . 曲率半径 $r=\frac{2a^2}{3\rho }$ ,每个环形的面积均为 $S=a^2$ .