12.1.4 凸子集和凸包

12.1.4.1 凸集

实向量空间 $V$ 的一子集 $C$ 称作凸的,是指对于每一对向量 $x,y\in C$ ,所有向量 $\lambda x+\left(1-\lambda y\right)$ 也属于 $C$ ,这里 $0\le \lambda \le 1$ . 换句话说,集合 $C$ 是凸集,如果对于任意两个元 $x,y\in C$ ,整个线段

$$\begin{array}{}\text{(12.16)}& \{\lambda x+\left(1-\lambda y\right):0\le \lambda \le 1\}\end{array}$$

(它也称作区间) 属于 $C$ .(关于 ${\mathbb{R}}^2$ 中的凸集,参见第 893 页图 12.5 中标记为 $A$ 和 $B$ 的集合)

任意多个凸集之交仍是凸集, 这里我们约定空集也是凸集. 因此, 对于每一个子集 $E\subset V$ ,存在包含 $E$ 的最小的凸集,即 $V$ 中包含 $E$ 的所有凸子集之交. 它称作 $E$ 的凸包,记作 $\mathrm{co}\left(E\right).\mathrm{co}\left(E\right)$ 等同于 $E$ 中所有元的有穷凸线性组合构成的集合,即 $\mathrm{co}\left(E\right)$ 由所有形式为 ${\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n$ 的元组成的集合,这里 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为 $E$ 中任意元, ${\lambda }_i\in \left[0,1\right]$ 满足 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=1$ . 线性和放射子空间总是凸的.

12.1.4.2 锥 ${}^{\text{① }}$

一个 (实) 向量空间 $V$ 中非空子集 $K$ 称作凸锥,是指它满足:

(1) $K$ 是凸集,

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① 在本章中, 作者并未区分锥和凸锥, 下面所谓的锥都是指凸锥. - 一译者注

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(2) 从 $x\in K$ 和 $\lambda \ge 0$ 可得 $\lambda x\in K$ ,

(3) 从 $x\in K$ 和 $-x\in K$ 可得 $x=0$ .

一个锥 $K$ 也可用上述 (3) 再加上如下性质刻画:

$$\begin{array}{}\text{(12.17)}& x,y\in K\text{ 和 }\lambda ,\mu \ge 0\text{ 推出 }\lambda x+\mu y\in K.\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 所有具有非负分量的向量 $x=\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)$ 的集合 ${\mathbb{R}}_{+}^n$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个锥

$◼\mathbf{B}$: 所有 $\left[a,b\right]$ 上非负值连续函数的集合 ${\mathcal{C}}_{+}$ 是 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中的一个锥.

$◼\mathbf{C}$: 所有具非负分量 (即 ${\xi }_n\ge 0,\mathrm{\forall }n$ ) 的实数列 ${\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $s$ 中的一个锥.

$◼\mathbf{D}$: 给定某个 $a>0$ ,则所有满足

$$\begin{array}{}\text{(12.18)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\xi }_n\right|}^p\le a\end{array}$$

的序列 ${\left\{{\xi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 组成的集合 $C\subset {\ell }^p\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ 是一凸集,但显然不是锥.

| $\mathbf{E}:{\mathbb{R}}^2$ 中的例子,见图 12.1: (a) 凸集,但非锥; (b) 非凸集; (c) 凸包.