2.13.3 外摆线

一个动圆沿着另一个定圆的外侧做无滑动滚动时, 圆周上一点的轨迹称为外摆线(图 2.69). 外摆线的参数方程为

$$x=\left(A+a\right)\cos \phi -a\cos \frac{A+a}{a}\phi ,$$$$\begin{array}{}\text{(2.244)}& y=\left(A+a\right)\sin \phi -a\sin \frac{A+a}{a}\phi \left(-\mathrm{\infty }<\phi <\mathrm{\infty }\right),\end{array}$$

其中 $A$ 为定圆为半径, $a$ 为动圆的半径, $\phi$ 为角 $\nless C_{0}x$ ,曲线的形状与商 $m=\frac{A}{a}$ 有关.

当 $m=1$ 时,曲线为心脏线(参见第 129 页 2.12.4).

$m$ 为整数 当 $m$ 为整数时,曲线由围绕着固定曲线的 $m$ 个形状相同分支组成 (图 2.69(a)). 尖点 $A_1,A_2,\cdots ,A_m$ 坐标为 $\left(\rho =A,\phi =\frac{2k\pi }{m}\left(k=0,1,\cdots ,m-1\right)\right)$ , 顶点 $B_1,B_2,\cdots ,B_m$ 坐标为 $\left(\rho =A+2a,\phi =\frac{2\pi }{m}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right)$ .

$m$ 为有理分数 若 $m$ 为非整有理数,形状相同的分支彼此依次绕一定圆,且与前一分支相交,直到动点 $P$ 经有限次循环后回到起点 (图 2.69(b)).

$m$ 为无理数 当 $m$ 为无理数时,动点 $P$ 要往返无穷多次,且永远不会回到起点.

一个分支的长度 $L_{A_1{B}_1{A}_2}=\frac{8\left(A+a\right)}{m}$ ,故对整数 $m$ ,封闭曲线的总长 $L_{\text{总 }}=$ $8\left(A+a\right)$ . 区域 $A_1{B}_1{A}_2{A}_1$ 的面积 (不包括定圆部分) $S=\pi a^2\left(\frac{3A+2a}{A}\right)$ . 曲率半径 $r=\frac{4a\left(A+a\right)}{2a+A}\sin \frac{A\phi }{2a}$ ,顶点处 $r_B=\frac{4a\left(A+a\right)}{2a+A}$ .