4.3.2 笛卡儿坐标下的张量

1. 定义

一个数学量或物理量 $T$ 在笛卡儿坐标系 $K$ 中可以用 $3^n$ 个称作平移不变量的元素 $t_{ij\cdots m}$ 来刻画. 其中下标 $i,j,\cdots ,m$ 的个数恰好等于 $n\left(n\ge 0\right)$ . 指标是有序的,并且它们中每个都取值 1,2 和 3 . 如果在一个由 $K$ 到 $\tilde{K}$ 的坐标变换下,依据 (4.66),对于元素 $t_{ij\cdots m}$ ,

$$\begin{array}{}\text{(4.69)}& {\tilde{t}}_{\mu \nu \cdots \gamma }=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3\cdots \sum _{m=1}^3{a}_{\mu i}{a}_{\nu j}\cdots a_{\gamma m}{t}_{ij\cdots m}\end{array}$$

成立,那么 $\mathbf{T}$ 称作秩 $n$ 张量,并且将具有有序指标的元素 $t_{ij\cdots m}$ (多数是数) 称作张量 $T$ 的分量.

2. 秩 0 张量

秩 0 张量只有一个分量, 即它是一个标量. 因为它的值在每个坐标系中都是相同的, 所以我们称此为标量不变性或不变标量.

3. 秩 1 张量

秩 1 张量有 3 个分量 $t_1,t_2$ 和 $t_3$ . 变换律 (4.69) 在此是

$$\begin{array}{}\text{(4.70)}& {\tilde{t}}_{\mu }=\sum _{i=1}^3{a}_{\mu i}{t}_i\left(\mu =1,2,3\right).\end{array}$$

这是向量的变换律, 也就是说, 向量是秩 1 张量.

4. 秩 2 张量

如果 $n=2$ ,那么张量 $\mathbf{T}$ 有 9 个分量 $t_{ij}$ ,它们可以排列为矩阵

$$\begin{array}{}\text{(4.71a)}& \mathbf{T}=\mathbf{T}=\left(\begin{array}{lll}{t}_{11}& t_{12}& t_{13}\\ t_{21}& t_{22}& t_{23}\\ t_{31}& t_{32}& t_{33}\end{array}\right)\end{array}$$

变换律 (4.70) 现在是

$$\begin{array}{}\text{(4.71b)}& {\tilde{t}}_{\mu \nu }=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{a}_{\mu i}{a}_{\nu j}{t}_{ij}\left(\mu ,\nu =1,2,3\right).\end{array}$$

于是, 秩 2 张量可以表示为矩阵.

$◼\mathbf{A}$: 刚体对于通过原点并且方向向量为 $\overrightarrow{a}={\underset{―}{\mathbf{a}}}^{\mathrm{T}}$ 的直线 $g$ 的惯性矩 ${\mathrm{\Theta }}_g$ 可以表示为形式

$$\begin{array}{}\text{(4.72a)}& {\mathrm{\Theta }}_g={\underset{―}{\mathbf{a}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Theta }\underset{―}{\mathbf{a}},\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(4.72b)}& \mathbf{\Theta }=\left({\mathrm{\Theta }}_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Theta }}_x& -{\mathrm{\Theta }}_{xy}& -{\mathrm{\Theta }}_{xz}\\ -{\mathrm{\Theta }}_{xy}& {\mathrm{\Theta }}_y& -{\mathrm{\Theta }}_{yz}\\ -{\mathrm{\Theta }}_{xz}& -{\mathrm{\Theta }}_{yz}& {\mathrm{\Theta }}_z\end{array}\right),\end{array}$$

即所谓惯性张量,其中 ${\mathrm{\Theta }}_x,{\mathrm{\Theta }}_y$ 和 ${\mathrm{\Theta }}_z$ 是对于坐标轴的惯性矩, ${\mathrm{\Theta }}_{xy},{\mathrm{\Theta }}_{xz}$ 和 ${\mathrm{\Theta }}_{yz}$ 是对于坐标轴的偏矩.

$◼\mathbf{B}$: 弹性变形体的负荷条件可以用张力张量给出:

$$\begin{array}{}\text{(4.73)}& \sigma =\left(\begin{array}{lll}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right).\end{array}$$

元素 ${\sigma }_{ik}\left(i,k=1,2,3\right)$ 用下列方法确定: 在弹性体的一点 $P$ 选取小平面曲面元素, 其法向量指向直角笛卡儿坐标系的 $x_1$ 轴的正向. 在这个元素上每曲面单位受力 (它与材料有关) 就是坐标为 ${\sigma }_{11},{\sigma }_{12},{\sigma }_{13}$ 的向量. 可以类似地解释其他分量.

5. 计算法则

(1) 初等代数运算 类似于向量和矩阵的相应运算, 按分量定义数与张量相乘以及同秩张量的加法和减法.

(2) 张量积 设给定秩 $m$ 张量 $\mathbf{A}$ 和秩 $n$ 张量 $\mathbf{B}$ ,它们分别有分量 $a_{ij\cdots }$ 和 $b_{rs\cdots }$ ,那么 $3^{m+n}$ 个标量

$$\begin{array}{}\text{(4.74a)}& c_{ij\cdots rs\cdots }=a_{ij\cdots }{b}_{rs\cdots }\end{array}$$

给出秩 $m+n$ 张量 $\mathbf{C}$ 的分量. 将此记作 $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ,并且称它为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的张量积. 结合律和分配律成立:

$$\begin{array}{}\text{(4.74b)}& \left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{C}=\mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{C}\right),\mathbf{A}\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}.\end{array}$$

(3) 并积 两个秩 1 张量 $\mathbf{A}=\left(a_1,a_2,a_3\right)$ 和 $\mathbf{B}=\left(b_1,b_2,b_3\right)$ 给出元素为

$$\begin{array}{}\text{(4.75a)}& c_{ij}=a_i{b}_j\left(i,j=1,2,3\right)\end{array}$$

的秩 2 张量, 即张量积产生矩阵

$$\begin{array}{}\text{(4.75b)}& \left(\begin{array}{lll}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_3{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right).\end{array}$$

将此记作两个向量 $\underset{―}{A}$ 和 $\underset{―}{B}$ 的并积.

(4) 缩并 在秩 $m\left(m\ge 2\right)$ 张量中令两个指标相等,并且对它们求和,那么我们得到一个秩 $m-2$ 张量,将此称作张量的缩并.

(4.75a) 中的秩 2 张量,其中 $c_{ij}=a_i{b}_j$ ,是向量 $\underset{―}{\mathbf{A}}=\left(a_1,a_2,a_3\right)$ 和 $\underset{―}{\mathbf{B}}=$ $\left(b_1,b_2,b_3\right)$ 的张量积,可以通过指标 $i,j$ 的缩并给出一个标量

$$\begin{array}{}\text{(4.76)}& a_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3,\end{array}$$

它是秩 0 张量. 这给出向量 $\underset{―}{\mathbf{A}}$ 和 $\underset{―}{\mathbf{B}}$ 的标量积.