14.3.3 解析延拓原理

考虑两个幂级数

$$\begin{array}{}\text{(14.49a)}& f_0\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-z_0)}^n\text{ 和 }{f}_1\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{(z-z_1)}^n,\end{array}$$

它们各自围绕 $z_0$ 和 $z_1$ 的收敛圆 $K_0$ 和 $K_1$ 有某个公共区域 (图 14.42),并且在这个区域中它们相等:

$$\begin{array}{}\text{(14.49b)}& f_0\left(z\right)=f_1\left(z\right).\end{array}$$

此时,属于点 $z_0$ 和 $z_1$ 的两个幂级数是同一个解析函数 $f\left(z\right)$ 的泰勒展式. 函数 $f_1\left(z\right)$ 被称为只定义在 $K_0$ 中的函数 $f_0\left(z\right)$ 在 $K_1$ 中的解析延拓 (analytic continuation).

$◼$ 几何级数 $f_0\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$ 围绕 $z_0=0$ 有收敛圆 $K_0\left(r_0=1\right)$ ,函数 $f_1\left(z\right)=$ $\frac{1}{1-\mathrm{i}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^n$ 围绕 $z_1=\mathrm{i}$ 有收敛圆 $K_1\left(r_1=\sqrt{2}\right)$ ,在它们自己的收敛圆中它们以解析函数 $f\left(z\right)=1/\left(1-z\right)$ 作为它们的和,因而在两个收敛圆的公共部分 (图 14.42 中的双重阴影部分) 中亦然 $\left(z\ne 1\right)$ . 所以, $f_1\left(z\right)$ 是 $f_0\left(z\right)$ 从 $K_0$ 到 $K_1$ 中的解析延拓 (反之亦然).