2.12.5 卡西尼曲线

与两焦点 $F_1\left(c,0\right)$ 和 $F_2\left(-c,0\right)$ 的距离乘积为常数 $a^2\ne 0$ 的点 $P$ 的轨迹称为卡西尼曲线(图 2.65):

$$\begin{array}{}\text{(2.238)}& \overline{F_{1}P}\cdot \overline{F_{2}P}=a^2,\end{array}$$

其笛卡儿坐标方程与极坐标方程分别为

$$\begin{array}{}\text{(2.239a)}& {(x^2+y^2)}^2-2c^2\left(x^2-y^2\right)=a^4-c^4\left(a>0,c>0\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.239b)}& {\rho }^2=c^2\cos 2\phi \pm \sqrt{c^4{\cos }^{2}2\phi +\left(a^4-c^4\right)}\left(a>0,c>0\right).\end{array}$$

曲线的形状与 $a$ 和 $c$ 有关:

$a>c\sqrt{2}$ 当 $a>c\sqrt{2}$ 时,曲线形状为类似椭圆的卵形 (图 2.65(a)),与 $x$ 轴交点 $A,C$ 的坐标为 $\left(\pm \sqrt{a^2+c^2},0\right)$ ,与 $y$ 轴交点 $B,D$ 的坐标为 $\left(0,\pm \sqrt{a^2-c^2}\right)$ .

$a=c\sqrt{2}$ 当 $a=c\sqrt{2}$ 时,曲线在点 $A,C\left(\pm c\sqrt{3},0\right)$ 和点 $B,D\left(0,\pm c\right)$ 的类型相同,在点 $B,D$ 的曲率为 0,即与直线 $y=\pm c$ 存在紧密接触.

$c<a<c\sqrt{2}$ 当 $c<a<c\sqrt{2}$ 时,曲线为压卵形 (图 2.65(b)),与坐标轴的交点同 $a>c\sqrt{2}$ 时的情况相同,极值点除 $B,D$ 外,点 $E,G,K,I$ 也为极值点,坐标为 $\left(\pm \frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm \frac{a^2}{2c}\right)$ ,点 $P,L,M,N$ 为四个拐点,坐标为 $(\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(m-n\right)}$ , $\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left(m+n\right)})$ ,其中 $n=\frac{a^4-c^4}{3c^2},m=\sqrt{\frac{a^4-c^4}{3}}$ .

$a=c$ 当 $a=c$ 时,曲线为双纽线.

$a<c$ 当 $a<c$ 时,为两条卵形线 (图 2.65(c)),与 $x$ 轴交点 $A,C$ 和 $P,Q$ 的坐标分别为 $\left(\pm \sqrt{a^2+c^2},0\right)$ 和 $\left(\pm \sqrt{c^2-a^2},0\right)$ . 极值点 $E,G,K,I$ 的坐标为 $\left(\pm \frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm \frac{a^2}{2c}\right)$ ,曲率半径 $r=\frac{2a^2{\rho }^3}{c^4-a^4+3{\rho }^4}$ ,其中 $\rho$ 满足极坐标表达式.