7.3.1 定义

(1)函数项级数 是各项均为关于同一自变量 $x$ 的函数的级数:

$$\begin{array}{}\text{(7.74)}& f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+\cdots +f_n\left(x\right)+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n\left(x\right).\end{array}$$

(2) 部分和 $S_n\left(x\right)$ 是级数 (7.74) 的前 $n$ 项和:

$$\begin{array}{}\text{(7.75)}& S_n\left(x\right)=f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+\cdots +f_n\left(x\right)=\sum _{k=1}^n{f}_k\left(x\right).\end{array}$$

(3) 收敛域 当 $x=a$ 时,若函数 $f_n\left(x\right)$ 所确定的常函数级数

$$\begin{array}{}\text{(7.76)}& f_1\left(a\right)+f_2\left(a\right)+\cdots +f_n\left(a\right)+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n\left(a\right)\end{array}$$

收敛,即部分和 $S_n\left(a\right)$ 的极限存在:

$$\begin{array}{}\text{(7.77)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n\left(a\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n{f}_k\left(a\right)=S\left(a\right),\end{array}$$

则称所有这样的 $x=a$ 构成的集合为函数项级数的收敛域

(4) 级数 (7.74) 的和 是函数 $S\left(x\right)$ ,也称为级数收敛于函数 $S\left(x\right).x=a$ 的值称为收敛点.

(5) 余项 ${\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}\left(\mathbf{x}\right)$ 是收敛的函数项级数的和 $S\left(x\right)$ 与它的部分和 $S_n\left(x\right)$ 之差:

$$\begin{array}{}\text{(7.78)}& R_n\left(x\right)=S\left(x\right)-S_n\left(x\right)=f_{n+1}\left(x\right)+f_{n+2}\left(x\right)+\cdots +f_{n+m}\left(x\right)+\cdots .\end{array}$$