2.12.4 心脏线

心脏线(图 2.64) 可以按如下两种方式定义:

(1) 满足

$$\begin{array}{}\text{(2.236)}& \overline{OP}=\overline{OM}\pm a\end{array}$$

的帕斯卡蜗线的特例,其中 $a$ 是圆的直径.

(2)外摆线在定圆和动圆具有相同直径 $a$ 时的特例. 方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.237a)}& {(x^2+y^2)}^2-2ax\left(x^2+y^2\right)=a^2{y}^2\left(a>0\right),\end{array}$$

其参数方程和极坐标方程分别为

$$x=a\cos \phi \left(1+\cos \phi \right),y=a\sin \phi \left(1+\cos \phi \right)\left(a>0,0\le \phi <2\pi \right),$$

(2.237b)

$$\begin{array}{}\text{(2.237c)}& \rho =a\left(1+\cos \phi \right)\left(a>0\right).\end{array}$$

原点是一个尖点,顶点 $A$ 的坐标为(2a,0); 当 $\cos \phi =\frac{1}{2}$ 时,有极值点 $C$ 和 $D$ ,坐标为 $\left(\frac{3}{4}a,\pm \frac{3\sqrt{3}}{4}a\right)$ . 面积 $S=\frac{3}{2}\pi a^2$ ,即为圆的面积与直径 $a$ 乘积的六倍; 曲线长 $L=8a$ .