8.3.2 第二类线积分

8.3.2.1 定义

第二类线积分或投影积分,如在 $x$ 轴、 $y$ 轴或 $z$ 轴上的投影积分,是如下形式

的定积分

$$\begin{array}{}\text{(8.110a)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(8.110b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

其中 $f\left(x,y\right)$ 或 $f\left(x,y,z\right)$ 是定义在一连通区域上的二元或三元函数,使其对平面曲线或空间曲线 $C\equiv \stackrel{⏜}{AB}$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴或 $z$ 轴上的投影进行积分,且积分路径也位于该连通区域中. 第二类线积分的确定方法与第一类线积分类似, 但是在第 3 步中并不是用函数 $f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ 或 $f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)$ 乘以小曲线段 $\stackrel{⏜}{A_{i-1}{A}_i}$ 的弧长,而是乘以小曲线段在坐标轴上的投影 (图 8.25).

1. 在 $x$ 轴上的投影

$$\begin{array}{}\text{(8.111)}& \stackrel{⏜}{\underset{x}{Pr}{A}_{i-1}{A}_i}=x_i-x_{i-1}\end{array}$$

有

$$\begin{array}{}\text{(8.112a)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{x}_{i-1}\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_{i-1},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.112b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{x}_{i-1}\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_{i-1}.\end{array}$$

2. 在 $y$ 轴上的投影

$$\begin{array}{}\text{(8.113a)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{y}_{i-1}\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\mathrm{\Delta }{y}_{i-1},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.113b)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}y=\underset{\begin{array}{c}{y}_{i-1}\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\mathrm{\Delta }{y}_{i-1}.\end{array}$$

3. 在 $z$ 轴上的投影

$$\begin{array}{}\text{(8.114)}& {\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}z=\underset{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{z}_{i-1}\to 0\\ n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\mathrm{\Delta }{z}_{i-1}.\end{array}$$

8.3.2.2 存在定理

若函数 $f\left(x,y\right),f\left(x,y,z\right)$ 及曲线沿线段 $C$ 连续,且曲线有连续变化的切线,则形如 (8.112a), (8.113a), (8.112b), (8.113b) 或 (8.114) 的第二类线积分存在.

8.3.2.3 第二类线积分的计算

为了计算第二类线积分, 可将其化为定积分.

1. 以参数形式给出的积分路径

若积分路径的参数方程为

$$\begin{array}{}\text{(8.115)}& x=x\left(t\right),y=y\left(t\right),\text{ (对空间曲线,还有) }z=z\left(t\right),\end{array}$$

则有下面的公式

$$\begin{array}{}\text{(8.116a)}& \text{对 (8.112a),有}{\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right)\right]x^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.116b)}& \text{对 (8.113a),有}{\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right)\right]y^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.116c)}& \text{对 (8.112b),有}{\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]x^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\text{.}\end{array}$$

对 (8.113b),有 ${\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}y={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]y^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t$ .(8.116d)

$$\begin{array}{}\text{(8.116e)}& \text{对 (8.114),有}{\int }_{\left(C\right)}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}z={\int }_{t_0}^{T}f\left[x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right)\right]z^{\prime }\left(t\right)\mathrm{d}t\text{.}\end{array}$$

其中 $t_0$ 和 $T$ 分别是参数 $t$ 在弧段的起点 $A$ 和终点 $B$ 处的值. 与第一类线积分不同,此处不再要求不等式 $t_0<T$ .

注 若积分路径反向,即点 $A$ 和 $B$ 换位,则积分变号.

2. 以显形式给出的积分路径

在平面曲线或空间曲线中, 积分路径方程为

$$\begin{array}{}\text{(8.117)}& y=y\left(x\right)\text{ 或 }y=y\left(x\right),z=z\left(x\right),\end{array}$$

其中 $a,b$ 分别为点 $A,B$ 的横坐标,但不必满足条件 $a<b$ ,横坐标 $x$ 取代了 $\left(8.112\mathrm{a}\right)\sim \left(8.114\right)$ 中参数 $t$ .