17.1.2 常微分方程的定性理论

17.1.2.1 流的存在性, 相空间结构

1. 解的延拓

微分方程 (17.1) 称为自治的. 除了自治方程, 还存在一类方程, 其右端项显式地依赖于时间, 称为非自治方程,

$$\begin{array}{}\text{(17.11)}& \dot{x}=f\left(t,x\right).\end{array}$$

令 $M\subset {\mathbb{R}}^n,f:\mathbb{R}\times M\to M$ 为 $C^r$ 映射. 引入新的变量 $x_{n+1}\text{:=}t$ ,方程 (17.11) 可看作自治微分方程 $\dot{x}=f\left(x_{n+1},x\right),{\dot{x}}_{n+1}=1$ . 方程 (17.11) 在 $t_0$ 时刻,初始值为 $x_0$ 的解记为 $\phi \left(\cdot ,t_0,x_0\right)$ . 为了证明方程 (17.1) 解的全局存在性和流的存在性,我们需要下面的定理.

(1) 温特纳 (Wintner) 和康蒂 (Conti) 法则 若在方程 (17.1) 中 $M={\mathbb{R}}^n$ ,并且存在连续函数 $\omega :[0,+\mathrm{\infty })\to [1,+\mathrm{\infty })$ ,使得对任意 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ,有 $\parallel f\left(x\right)\parallel \le \omega \left(\parallel x\parallel \right)$ 和 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\omega \left(r\right)}\mathrm{d}r=+\mathrm{\infty }$ 成立,那么方程 (17.1) 的解可延拓至整个 ${\mathbb{R}}_{+}$ . 【例如,下面的函数满足温特纳和康蒂法则: $\omega \left(r\right)=Cr+1$ 或 $\omega \left(r\right)=Cr\left|\ln r\right|+1$ , 其中常数 $C>0$ .

(2) 延拓法则 若随着时间增加, 方程 (17.1) 的一个解始终有界, 则该解可延拓至整个 ${\mathbb{R}}_{+}$ .

假设: 在下面的讨论中, 我们总是假设方程 (17.1) 的流是存在的.

2. 相图

a) 若 $\phi \left(t\right)$ 是方程 (17.1) 的解,则对任意常数 $c$ ,函数 $\phi \left(t+c\right)$ 也是解.

b) 方程 (17.1) 的任意两条轨线或者没有交点, 或者重合. 因此, 方程 (17.1) 的相空间可分解成不相交的轨线. 将相空间分解为不相交的轨线称为相图.

c) 不同于稳态解, 每条轨线都是正则光滑的曲线, 它可能闭合, 也可能不闭合.

3. 刘维尔定理

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 是方程 (17.1) 的流, $D\subset M\subset {\mathbb{R}}^n$ 是任意一个有界可测集, $D_t\text{:=}$ ${\phi }^t\left(D\right),V_t\text{:=}\mathrm{vol}\left(D_t\right)$ 是 $D_t$ 的 $n$ 维体积 (图 17.2). 那么,对任意 $t\in \mathbb{R}$ ,有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{V}_t=$ ${\int }_{D_t}\mathrm{div}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ . 当 $n=3$ 时,刘维尔定理形式如下:

$$\begin{array}{}\text{(17.12)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{V}_t={\iiint }_{D_t}\mathrm{div}f\left(x_1,x_2,x_3\right)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{x}_3\end{array}$$

推论 若方程 (17.1) 中在 $M$ 上 $\mathrm{div}f\left(x\right)<0$ ,则方程 (17.1) 的流是体积收缩的. 若在 $M$ 上 $\mathrm{div}f\left(x\right)\equiv 0$ ,则方程 (17.1) 的流是保体积的.

$◼\mathbf{A}$: 对于洛伦茨系统 (17.2),有 $\mathrm{div}f\left(x,y,z\right)\equiv -\left(\sigma +1+b\right)$ . 因为 $\sigma >0,b>0$ , 所以 $\mathrm{div}f\left(x,y,z\right)<0$ . 由刘维尔定理,对任意有界可测集 $D\subset {\mathbb{R}}^3$ ,有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{V}_t=$ $\iint {\int }_{D_t}-\left(\sigma +1+b\right)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{x}_3=-\left(\sigma +1+b\right)V_t$ . 线性微分方程 ${\dot{V}}_t=-\left(\sigma +1+b\right)V_t$ 的解是 $V_t=V_0\cdot {\mathrm{e}}^{-\left(\sigma +1+b\right)t}$ ,于是,当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 时,有 $V_t\to 0$ .

$◼\mathbf{B}$: 令 $U\subset {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ 是开子集, $H:U\to \mathbb{R}$ 是 $C^2$ 函数. 那么, ${\dot{x}}_i=\frac{\partial H}{\partial y_i}\left(x,y\right),{\dot{y}}_i=$ $-\frac{\partial H}{\partial x_i}\left(x,y\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 称为哈密顿微分方程. 函数 $H$ 称为系统的哈密顿函数. 若 $f$ 表示此微分方程的右端项,则 $\mathrm{div}f\left(x,y\right)=\sum _{i=1}^n[\frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_i\partial y_i}\left(x,y\right)-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial y_i\partial x_i}$ $\left(x,y\right)\equiv 0$ . 于是,哈密顿微分方程是保体积的.

17.1.2.2 线性微分方程

1. 基本陈述

令 $\mathbf{A}\left(t\right)={\left[a_{ij}\left(t\right)\right]}_{i,j=1}^n$ 是 $\mathbb{R}$ 上矩阵函数,其中,分量 $a_{ij}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 令 $b:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ 是 $\mathbb{R}$ 上连续向量函数. 那么,

$$\begin{array}{}\text{(17.13a)}& \dot{x}=A\left(t\right)x+b\left(t\right)\end{array}$$

称为 ${\mathbb{R}}^n$ 上非齐次一阶线性微分方程;

$$\begin{array}{}\text{(17.13b)}& \dot{x}=A\left(t\right)x\end{array}$$

称为对应的齐次一阶线性微分方程.

(1) 齐次线性微分方程组的基本定理 方程 (17.13a) 的任一解在整个 $\mathbb{R}$ 上存在. 方程 (17.13b) 的所有解全体构成 $\mathbb{R}$ 上 $C^1$ 光滑向量函数空间的一个 $n$ 维向量子空间 $L_H$ .

(2) 非齐次线性微分方程组的基本定理 方程 (17.13a) 的所有解全体构成 $\mathbb{R}$ 上 $C^1$ 光滑向量函数空间的一个 $n$ 维仿射向量子空间 $L_I={\phi }_0+L_H$ ,其中 ${\phi }_0$ 是方程 (17.13a) 的任意解.

令 ${\phi }_1,\cdots {\phi }_n$ 是方程 (17.13b) 的解, $\mathrm{\Phi }=\left({\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\right)$ 是对应的解矩阵. 那么, $\mathrm{\Phi }$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足矩阵微分方程 $\dot{Z}\left(t\right)=A\left(t\right)Z\left(t\right)$ ,其中 $Z\in {\mathbb{R}}^{n\cdot n}$ . 若解 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$ 是 $L_H$ 中一组基,则 $\mathrm{\Phi }=\left({\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n\right)$ 称为方程 (17.13b) 的基解矩阵. $W\left(t\right)=det\mathrm{\Phi }\left(t\right)$ 称为方程 (17.13b) 关于解矩阵 $\mathrm{\Phi }$ 的朗斯基行列式. 刘维尔公式如下:

$$\begin{array}{}\text{(17.13c)}& \dot{W}\left(t\right)=\mathrm{rank}A\left(t\right)W\left(t\right)\left(t\in \mathbb{R}\right).\end{array}$$

对任意解矩阵,或者在 $\mathbb{R}$ 上 $W\left(t\right)\equiv 0$ ,或者对任意 $t\in \mathbb{R},W\left(t\right)\ne 0.{\phi }_1,\cdots ,{\phi }_n$ 是 $L_H$ 的一组基当且仅当在某时刻 $t$ (因此,在任意时刻 $t$ ),有 $det\left({\phi }_1\left(t\right),\cdots ,{\phi }_n\left(t\right)\right)\ne 0$ .

(3) 常数变异法 令 $\mathrm{\Phi }$ 是方程 (17.13b) 的任意基解矩阵. 那么,方程 (17.13a) 满足当 $t=\tau$ 时,初始值为 $p$ 的解 $\phi$ 可表示为

$$\begin{array}{}\text{(17.13d)}& \phi =\mathrm{\Phi }\left(t\right)\mathrm{\Phi }{\left(\tau \right)}^{-1}p+{\int }_{\tau }^t\mathrm{\Phi }\left(t\right)\mathrm{\Phi }{\left(s\right)}^{-1}b\left(s\right)\mathrm{d}s\left(t\in \mathbb{R}\right).\end{array}$$

2. 自治线性微分方程组

考虑微分方程

$$\begin{array}{}\text{(17.14)}& \dot{x}=Ax,\end{array}$$

其中, $A$ 是(n, n)型的常数矩阵. 矩阵 $A$ 的算子范数定义为 $\parallel A\parallel =max\{\parallel Ax\parallel ,x\in$ ${\mathbb{R}}^n,\parallel x\parallel \le 1\}$ ,其中, ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量取欧几里得范数.

令 $A$ 和 $B$ 是(n, n)型的矩阵. 那么,

**a) $\parallel \ast \ast A+B\parallel \le \parallel A\parallel +\parallel B\parallel$

**b) $\parallel \ast \ast \lambda A\parallel =\left|\lambda \right|\parallel A\parallel \left(\lambda \in \mathbb{R}\right)$ ;

**c) $\parallel \ast \ast Ax\parallel \le \parallel A\parallel \parallel x\parallel \left(x\in {\mathbb{R}}^n\right)$ ;

**d) $\parallel \ast \ast AB\parallel \le \parallel A\parallel \parallel B\parallel$

**e) $\parallel \ast \ast A\parallel =\sqrt{{\lambda }_{max}}$ ,其中, ${\lambda }_{max}$ 是 $A^{\mathrm{T}}A$ 的最大特征值.

方程 (17.14) 满足当 $t=0$ 时,初始值为 $E_n$ 的基解矩阵是矩阵指数函数

$$\begin{array}{}\text{(17.15)}& {\mathrm{e}}^{At}=E_n+\frac{At}{1!}+\frac{A^2{t}^2}{2!}+\cdots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^i{t}^i}{i!}.\end{array}$$

其满足下面的性质:

a) 当 $t$ 在任意紧致时间区间上变化时, ${\mathrm{e}}^{At}$ 的级数是一致收敛的. 对固定 $t,{\mathrm{e}}^{At}$ 的级数是绝对收敛的.

**b) $\Vert \begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{At}\end{array}\Vert \ast \ast \le {\mathrm{e}}^{\parallel A\parallel t}\left(t\ge 0\right)$ ;

**c) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\ast \ast {\mathrm{e}}^{At})={\left({\mathrm{e}}^{At}\right)}^{\cdot }=A{\mathrm{e}}^{At}={\mathrm{e}}^{At}A\left(t\in \mathbb{R}\right)$ ;

**d) ${\mathrm{e}}^{(\ast \ast t+s)A}={\mathrm{e}}^{tA}{\mathrm{e}}^{sA}\left(s,t\in \mathbb{R}\right)$ ;

e) 对任意 $t,{\mathrm{e}}^{At}$ 是正则的,并且 ${\left({\mathrm{e}}^{At}\right)}^{-1}={\mathrm{e}}^{-At}$ ;

f) 若 $A,B$ 是(n, n)型的可交换矩阵,即 $AB=BA$ ,则 $B{\mathrm{e}}^A={\mathrm{e}}^{A}B$ ,并且${\mathrm{e}}^{A+B}={\mathrm{e}}^A{\mathrm{e}}^B$

$\mathrm{g})$ 若 $A,B$ 是(n, n)型的矩阵,并且 $B$ 是正则的,则 ${\mathrm{e}}^{BA{B}^{-1}}=B{\mathrm{e}}^A{B}^{-1}$ .

3. 周期系数的线性微分方程

考虑齐次线性微分方程 (17.13b),其中 $A\left(t\right)={\left[a_{ij}\left(t\right)\right]}_{i,j=1}^n$ 是 $T$ 周期矩阵函数,即 $a_{ij}\left(t\right)=a_{ij}\left(t+T\right)\left(\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},i,j=1,\cdots ,n\right)$ . 该情形下,方程 (17.13b) 称为 $T$ 周期线性微分方程. 方程 (17.13b) 的任意基解矩阵 $\mathrm{\Phi }$ 可表示为 $\mathrm{\Phi }\left(t\right)=G\left(t\right){\mathrm{e}}^{tR}$ , 其中, $G\left(t\right)$ 是光滑的,正则的 $T$ 周期矩阵函数, $R$ 是(n, n)型的常数矩阵 (弗洛凯(Floquet) 定理).

令 $\mathrm{\Phi }\left(t\right)$ 是 $T$ 周期微分方程 (17.13b) 的基解矩阵,且在 $t=0$ 处正则化,即 $\mathrm{\Phi }\left(0\right)=E_n$ . 根据弗洛凯定理,有形式 $\mathrm{\Phi }\left(t\right)=G\left(t\right){\mathrm{e}}^{tR}$ . 矩阵 $\mathrm{\Phi }\left(T\right)={\mathrm{e}}^{RT}$ 称为方程 (17.13b) 的单值矩阵; $\mathrm{\Phi }\left(T\right)$ 的特征值 ${\rho }_j$ 称为方程 (17.13b) 的乘子. $\rho \in \mathbb{C}$ 是方程 (17.13b) 的乘子当且仅当存在方程 (17.13b) 的一个解 $\phi \not\equiv 0$ 使得 $\phi \left(t+T\right)=$ $\rho \phi \left(t\right)\left(t\in \mathbb{R}\right)$ .

17.1.2.3 稳定性理论

1. 李雅普诺夫稳定性与轨道稳定性

考虑非自治微分方程 (17.11). 方程 (17.11) 的解 $\phi \left(t,t_0,x_0\right)$ 称为李雅普诺夫意义下稳定, 如果

$$\begin{array}{l}\mathrm{\forall }{t}_1\ge t_0,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta =\delta \left(\epsilon ,t_1\right),\mathrm{\forall }{x}_1\in M\\ \Vert \begin{array}{c}{x}_1-\phi \left(t_1,t_0,x_0\right)\end{array}\Vert <\delta \end{array}\}:$$$$\begin{array}{}\text{(17.16a)}& \Vert \begin{array}{c}\phi \left(t,t_1,x_1\right)-\phi \left(t,t_0,x_0\right)\end{array}\Vert <\epsilon ,t\ge t_1.\end{array}$$

解 $\phi \left(t,t_0,x_0\right)$ 称为李雅普诺夫意义下渐近稳定,如果该解是稳定的,并且

$$\begin{array}{l}\mathrm{\forall }{t}_1\ge t_0,\mathrm{\exists }\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }\left(t_1\right),\mathrm{\forall }{x}_1\in M\\ \Vert \begin{array}{c}{x}_1-\phi \left(t_1,t_0,x_0\right)\end{array}\Vert <\mathrm{\Delta }\end{array}\}:$$$$\begin{array}{}\text{(17.16b)}& \Vert \begin{array}{c}\phi \left(t,t_1,x_1\right)-\phi \left(t,t_0,x_0\right)\end{array}\Vert \to 0\text{ 当 }t\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

对于自治微分方程 (17.1), 除了李雅普诺夫稳定性, 还有一些其他重要的稳定性概念. 方程 (17.1) 的解 $\phi \left(t,x_0\right)$ 称为轨道稳定(渐近轨道稳定),如果轨道 $\gamma \left(x_0\right)=$ $\left\{\phi \left(t,x_0\right),t\in \mathbb{R}\right\}$ 作为不变集是稳定的 (渐近稳定的). 方程 (17.1) 平衡点对应的解是李雅普诺夫稳定的当且仅当它是轨道稳定的. 对于方程 (17.1) 的周期解, 两种稳定性的类型是不同的.

• 给定 ${\mathbb{R}}^3$ 上的一个流,它的不变集是环面 $T^2$ . 在局部直角坐标系中,该流可表示为 ${\dot{\mathrm{\Theta }}}_1=0,{\dot{\mathrm{\Theta }}}_2=f_2\left({\mathrm{\Theta }}_1\right)$ ,其中, $f_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 $2\pi$ 周期的光滑函数,满足

$$\begin{array}{l}\mathrm{\forall }{\mathrm{\Theta }}_1\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }{U}_{{\mathrm{\Theta }}_1}\left({\mathrm{\Theta }}_1\right)\text{ 的邻域 },\mathrm{\forall }{\delta }_1,{\delta }_2\in U_{{\mathrm{\Theta }}_1}\\ {\delta }_1\ne {\delta }_2\end{array}\}:f_2\left({\delta }_1\right)\ne f_2\left({\delta }_2\right).$$

满足初始条件 $\left({\mathrm{\Theta }}_1\left(0\right),{\mathrm{\Theta }}_2\left(0\right)\right)$ 的解在环面上可表示为

$${\mathrm{\Theta }}_1\left(t\right)\equiv {\mathrm{\Theta }}_1\left(0\right),{\mathrm{\Theta }}_2\left(t\right)={\mathrm{\Theta }}_2\left(0\right)+f_2\left({\mathrm{\Theta }}_1\left(0\right)\right)t\left(t\in \mathbb{R}\right).$$

从上述表达式可以看出, 任意解是轨道稳定的, 但不是李雅普诺夫稳定的.

2. 李雅普诺夫渐近稳定性定理

标量函数 $V$ 在点 $p\in M\subset {\mathbb{R}}^n$ 的邻域 $U$ 内是正定的,如果:

(1) $V:U\subset M\to \mathbb{R}$ 连续.

(2) 对任意 $x\in U\setminus \{p\}$ ,有 $V\left(x\right)>0$ 并且 $V\left(p\right)=0$ .

令 $U\subset M$ 是开集, $V:U\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 函数 $V$ 称为方程 (17.1) 在 $U$ 内的李雅普诺夫函数,如果对于解 $\phi \left(t\right)\in U,V\left(\phi \left(t\right)\right)$ 是非增函数. 令 $V:U\to$ $\mathbb{R}$ 是方程 (17.1) 的李雅普诺夫函数,并且 $V$ 在点 $p$ 的邻域 $U$ 内是正定的. 那么, $p$ 是稳定的. 如果对于方程 (17.1) 满足 $\phi \left(t,x\right)\in U\left(t\ge 0\right)$ 的解 $\phi$ ,条件 $V\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)=\mathrm{constant}\left(t\ge 0\right)$ (也就是说,李雅普诺夫函数沿着完整轨道等于常值) 总蕴含着 $\phi \left(t,x_0\right)\equiv p$ ,那么,该轨道一定是平衡点,并且平衡点 $p$ 是渐近稳定的. 点(0,0)是平面微分方程 $\dot{x}=y,\dot{y}=-x-x^{2}y$ 的平衡点. 函数 $V\left(x,y\right)=$ $x^2+y^2$ 在点(0,0)的任意邻域是正定的,并且沿任意满足 $x\left(t\right)y\left(t\right)\ne 0$ 的解,导数 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)=-2x{\left(t\right)}^{2}y{\left(t\right)}^2<0$ . 因此,(0,0)是渐近稳定的.

3. 稳态解的分类和稳定性

令 $x_0$ 是方程 (17.1) 的平衡点. 在特定假设下,方程 (17.1) 在 $x_0$ 的邻域内轨道的局部性质可由变分方程 $\dot{y}=Df\left(x_0\right)y$ 描述,其中 $Df\left(x_0\right)$ 是 $f$ 在 $x_0$ 的雅可比矩阵. 若 $Df\left(x_0\right)$ 没有特征值 ${\lambda }_j$ 满足 $\mathrm{Re}{\lambda }_j=0$ ,则平衡点 $x_0$ 称为双曲的. 若 $Df\left(x_0\right)$ 恰好有 $m$ 个负实部的特征值和 $k=n-1-m$ 个正实部的特征值,则称双曲平衡点 $x_0$ 是(m, k)型的.(m, k)型的双曲平衡点称为汇,如果 $m=n$ ; 称为源, 如果 $k=n$ ; 称为鞍点,如果 $m\ne 0$ 并且 $k\ne 0$ (图 17.3). 汇是渐近稳定的; 源和鞍点是不稳定的 (一阶近似的稳定性定理). 在双曲平衡点的三种基本拓扑类型内 (汇, 源, 鞍点), 还有进一步的代数分类. 汇 (源) 称为稳定结点(不稳定结点), 如果雅可比矩阵的特征值都是实的; 称为稳定焦点(不稳定焦点), 如果雅可比矩阵有虚部非零的特征值. 当 $n=3$ 时,鞍点可分为鞍结点和鞍焦点.

4. 周期轨的稳定性

设 $\phi \left(t,x_0\right)$ 是方程 (17.1) 的 $T$ 周期解,其轨道是 $\gamma \left(x_0\right)=\left\{\phi \left(t,x_0\right),t\in \left[0,T\right]\right\}$ . 在特定假设下, $\gamma \left(x_0\right)$ 某个邻域的相图可由变分方程 $\dot{y}=Df\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)y$ 描述. 因为 $A\left(t\right)=Df\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)$ 是(n, n)型的 $T$ 周期连续矩阵函数,根据弗洛凯定理, 变分方程的基解矩阵 ${\mathrm{\Phi }}_{x_0}\left(t\right)$ 可记为 ${\mathrm{\Phi }}_{x_0}=G\left(t\right){\mathrm{e}}^{Rt}$ ,其中, $G$ 是 $T$ 周期正则光滑矩阵函数,满足 $G\left(0\right)=E_n,R$ 为(n, n)型的常数矩阵,其表示不唯一. 矩阵 ${\mathrm{\Phi }}_{x_0}\left(T\right)={\mathrm{e}}^{RT}$ 称为周期轨 $\gamma \left(x_0\right)$ 的单值矩阵, ${\mathrm{e}}^{RT}$ 的特征值 ${\rho }_1,\cdots ,{\rho }_n$ 称为周期轨 $\gamma \left(x_0\right)$ 的乘子. 若轨道 $\gamma \left(x_0\right)$ 可由其他解 $\phi \left(t,x_1\right)$ 表示,即 $\gamma \left(x_0\right)=\gamma \left(x_1\right)$ ,则 $\gamma \left(x_0\right)$ 和 $\gamma \left(x_1\right)$ 的乘子相同. 一个周期轨总含有等于 1 的乘子 (安德罗诺夫-维特定理). 令 ${\rho }_1,\cdots ,{\rho }_{n-1},{\rho }_n=1$ 是周期轨 $\gamma \left(x_0\right)$ 的乘子,令 ${\mathrm{\Phi }}_{x_0}\left(T\right)$ 是 $\gamma \left(x_0\right)$ 的单值矩阵. 那么

$$\sum _{j=1}^n{\rho }_j=\mathrm{Tr}{\mathrm{\Phi }}_{x_0}\left(T\right)\text{ 并且 }\prod _{j=1}^n{\rho }_j=det{\mathrm{\Phi }}_{x_0}\left(T\right)=\exp \left({\int }_0^T\mathrm{Tr}Df\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)\mathrm{d}t\right)$$$$\begin{array}{}\text{(17.17)}& =\exp \left({\int }_0^T\mathrm{div}f\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)\mathrm{d}t\right)\end{array}$$

其中,若 $n=2$ ,则 ${\rho }_2=1,{\rho }_1=\exp \left({\int }_0^T\mathrm{div}f\left(\phi \left(t,x_0\right)\right)\mathrm{d}t\right)$ .

$◼$ 令 $\phi \left(t,\left(1,0\right)\right)=\left(\cos t,\sin t\right)$ 是方程(17.9a)的 $2\pi$ 周期解. 该解变分方程的矩阵

$A\left(t\right)$ 为

$$A\left(t\right)=Df\left(\phi \left(t,\left(1,0\right)\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}-2{\cos }^{2}t& -1-\sin 2t\\ 1-\sin 2t& -2{\sin }^{2}t\end{array}\right).$$

在 $t=0$ 处正则化的基解矩阵 ${\mathrm{\Phi }}_{(1,0)}\left(t\right)$ 为

$${\mathrm{\Phi }}_{(1,0)}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-2t}\cos t& -\sin t\\ {\mathrm{e}}^{-2t}\sin t& \cos t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-2t}& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

其中,最后一个乘法是 ${\mathrm{\Phi }}_{(0,1)}\left(t\right)$ 的弗洛凯表示. 因此, ${\rho }_1={\mathrm{e}}^{-4\pi },{\rho }_2=1$ . 乘子可不采用弗洛凯表示来确定. 对于方程 (17.9a),有 $\mathrm{div}f\left(x,y\right)=2-4x^2-4y^2$ ,从而 $\mathrm{div}f\left(\cos t,\sin t\right)\equiv -2$ . 根据上述公式, ${\rho }_1=\exp \left({\int }_0^{2\pi }-2\mathrm{d}t\right)=\exp \left(-4\pi \right)$ .

5. 周期轨的分类

若方程 (17.1) 的周期轨 $\gamma$ 在复平面单位圆周上除了 ${\rho }_n=1$ 没有其他乘子,则 $\gamma$ 称为双曲的. 双曲周期轨是(m, k)型的,如果在单位圆周内部有 $m$ 个乘子,在单位圆周外部有 $k=n-1-m$ 个乘子. 若 $m>0$ 并且 $k>0$ ,则(m, k)型的周期轨称为鞍点.

根据安德罗诺夫-维特 (Andronov-Witt) 定理,方程 (17.1) 中(n - 1,0)型的双曲周期轨 $\gamma$ 是渐近稳定的. $k>0$ 的(m, k)型双曲周期轨是不稳定的.

$◼\mathbf{A}$: 平面上乘子为 ${\rho }_1$ 和 ${\rho }_2=1$ 的周期轨 $\gamma =\{\phi \left(t\right),t\in \left[0,T\right]\}$ 是渐近稳定的, 如果 $\left|{\rho }_1\right|<1$ ,即 ${\int }_0^T\mathrm{div}f\left(\phi \left(t\right)\right)\mathrm{d}t<0$ .

$◼\mathbf{B}$: 若在复单位圆周上除了 ${\rho }_n=1$ 还有其他乘子,则不能应用安德罗诺夫-维特定理. 仅根据乘子的信息无法进行周期轨的稳定性分析.

$◼\mathbf{C}$: 例如,设平面方程组 $\dot{x}=-y+xf\left(x^2+y^2\right),\dot{y}=x+yf\left(x^2+y^2\right)$ ,其中光滑函数 $f:\left(0,+\mathrm{\infty }\right)\to \mathbb{R}$ 满足 $f\left(1\right)=f^{\prime }\left(1\right)=0$ ,并且对任意 $r\ne 1,r>0$ ,有 $f\left(r\right)\left(r-1\right)<0$ . 显然, $\phi \left(t\right)=\left(\cos t,\sin t\right)$ 是该方程组的 $2\pi$ 周期解,并且

$${\mathrm{\Phi }}_{(1,0)}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

是基解矩阵的弗洛凯表示. 从而,有 ${\rho }_1={\rho }_2=1$ . 利用极坐标,得 $\dot{r}=rf\left(r^2\right),\dot{v}=1$ . 该形式表明周期轨 $\gamma \left(\left(1,0\right)\right)$ 是渐近稳定的.

6. 极限集、极限环的性质

当 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ ,微分方程 (17.1) 中流的 $\alpha$ 极限集和 $\omega$ 极限集有下列性质. 令 $x\in M$ 为任意一点,那么:

a) 集合 $\alpha \left(x\right)$ 和 $\omega \left(x\right)$ 都是闭集.

b) 若 ${\gamma }^{+}\left(x\right)$ (相应地, ${\gamma }^{-}\left(x\right)$ ) 是有界集,则 $\omega \left(x\right)\ne \varnothing$ (相应地, $\alpha \left(x\right)\ne \varnothing$ ). 进一步,在这种情形下, $\omega \left(x\right)\left(\text{相应地,}\alpha \left(x\right)\right)$ 是方程 (17.1) 中流的不变连通集.

例如,若 ${\gamma }^{+}\left(x\right)$ 不是有界的,则 $\omega \left(x\right)$ 不一定连通 (图 17.4).

对于平面自治微分方程 (17.1)(即 $M\subset {\mathbb{R}}^2$ ),有庞加莱-本迪克松 (Poincaré- Bendixson) 定理

庞加莱-本迪克松定理 令 $\phi \left(\cdot ,p\right)$ 是方程 (17.1) 的非周期解, ${\gamma }^{+}\left(p\right)$ 是有界集. 若 $\omega \left(p\right)$ 不包含方程 (17.1) 的平衡点,则 $\omega \left(x\right)$ 是方程 (17.1) 的周期轨.

因此, 对于平面自治微分方程, 除了平衡点或周期轨, 不存在更复杂的吸引子.

方程 (17.1) 的周期轨 $\gamma$ 称为极限环,如果存在 $x\notin \gamma$ 使得或者 $\gamma \subset \omega \left(x\right)$ ,或者 $\gamma \subset \alpha \left(x\right)$ . 一个极限环称为稳定的极限环,如果存在 $\gamma$ 的某个邻域 $U$ ,使得对任意 $x\in U$ ,有 $\gamma =\omega \left(x\right)$ . 一个极限环称为不稳定的极限环,如果存在 $\gamma$ 的某个邻域 $U$ ,使得对任意 $x\in U$ ,有 $\gamma =\alpha \left(x\right)$ .

$◼\mathbf{A}$: 在方程 (17.9a) 的流中,周期轨 $\gamma =\{\left(\cos t,\sin t\right),t\in [0,2\pi )\}$ 满足对任意 $p\ne \left(0,0\right)$ ,有 $\gamma =\omega \left(p\right)$ . 因此, $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{\left(0,0\right)\}$ 是 $\gamma$ 的邻域,使得 $\gamma$ 是稳定极限环. B: 相反地,对于线性微分方程 $\dot{x}=-y,\dot{y}=x$ ,轨线 $\gamma =\{\left(\cos t,\sin t\right),t\in \left[0,2\pi \right]\}$ 是周期轨, 但不是极限环.

7. $m$ 维嵌入不变环面

微分方程 (17.1) 可能存在 $m$ 维的不变环面. 嵌入到相平面 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 的 $m$ 维环面 $T^m$ 定义为一个可微映射 $g:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ ,满足函数 $\left({\mathrm{\Theta }}_1,\cdots ,{\mathrm{\Theta }}_m\right)\to$ $g\left({\mathrm{\Theta }}_1,\cdots ,{\mathrm{\Theta }}_m\right)$ 对每个坐标 ${\mathrm{\Theta }}_i$ 都是 $2\pi$ 周期的.

$◼$ 在简单情形下, 方程 (17.1) 在环面上的运动可表示为直角坐标系下的微分方程 ${\dot{\mathrm{\Theta }}}_i=w_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ . 该方程组满足 $t=0$ 时,初始值为 $\left({\mathrm{\Theta }}_1\left(0\right),\cdots ,{\mathrm{\Theta }}_m\left(0\right)\right)$ 的解是 ${\mathrm{\Theta }}_i\left(t\right)={\omega }_{i}t+{\mathrm{\Theta }}_i\left(0\right)\left(i=1,2,..m;t\in \mathbb{R}\right)$ . 连续函数 $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ 称为拟周期函数,如果 $f$ 可表示为 $f\left(t\right)=g\left({\omega }_{1}t,{\omega }_{2}t,\cdots ,{\omega }_{n}t\right)$ ,其中, $g$ 也是一个可微函数,满足对任意分量是 $2\pi$ 周期的,并且频率 ${\omega }_i$ 是不可约的,即不存在这样的整数 $n_i$ ,使得 $\sum _{i=1}^m{n}_i^2>0$ 且 $n_1{\omega }_1+\cdots +n_m{\omega }_m=0$ .

17.1.2.4 不变流形

1. 定义、分界面

设 $\gamma$ 是方程 (17.1) 的双曲平衡点或者双曲周期轨. $\gamma$ 的稳定流形 $W^s\left(\gamma \right)$ (相应地,不稳定流形 $W^u\left(\gamma \right)$ ) 是相空间上当 $t\to +\mathrm{\infty }$ (相应地, $t\to -\mathrm{\infty }$ ) 时轨道收敛到 $\gamma$ 的所有点的集合:

$$\begin{array}{}\text{(17.18)}& W^s\left(\gamma \right)=\{x\in M:\omega \left(x\right)=\gamma \},W^u\left(\gamma \right)=\{x\in M:\alpha \left(x\right)=\gamma \},\end{array}$$

稳定流形和不稳定流形也称为分界面.

• 在平面上, 考虑微分方程

$$\begin{array}{}\text{(17.19a)}& \dot{x}=-x,\dot{y}=y+x^2.\end{array}$$

方程 (17.19a) 满足 $t=0$ 时,初值为 $\left(x_0,y_0\right)$ 的解有显式表达

$$\begin{array}{}\text{(17.19b)}& \phi \left(t,x_0,y_0\right)=\left({\mathrm{e}}^{-t}{x}_0,{\mathrm{e}}^t{y}_0+\frac{x_0^2}{3}\left({\mathrm{e}}^t-{\mathrm{e}}^{-2t}\right)\right).\end{array}$$

方程 (17.19a) 中平衡点(0,0)的稳定流形和不稳定流形为

$$W^s\left(\left(0,0\right)\right)=\left\{\left(x_0,y_0\right):\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\phi \left(t,x_0,y_0\right)=\left(0,0\right)\right\}$$$$=\left\{\left(x_0,y_0\right):y_0+\frac{x_0^2}{3}=0\right\},$$$$W^u\left(\left(0,0\right)\right)=\left\{\left(x_0,y_0\right):\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}\phi \left(t,x_0,y_0\right)=\left(0,0\right)\right\}$$$$=\left\{\left(x_0,y_0\right):x_0=0,y_0\in \mathbb{R}\right\}\text{(图 17.5(a)).}$$

设 $M,N$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 内的光滑曲面, $L_{x}M,L_{x}N$ 分别是 $M$ 和 $N$ 在 $x$ 处相应的切平面. 曲面 $M$ 和 $N$ 是横截相交的,如果对任意 $x\in M\cap N$ ,下面的关系成立:

$$\dim L_{x}M+\dim L_{x}N-n=\dim \left(L_{x}M\cap L_{x}N\right).$$

$◼$ 在图 17.5(b) 中, $\dim L_{x}M=2,\dim L_{x}N=1,\dim \left(L_{x}M\cap L_{x}N\right)$ ,因此它们是横截相交的.

2. 阿达马-佩龙定理

阿达马-佩龙 (Hadamard-Perron) 定理给出了分界面的重要性质.

设 $\gamma$ 是方程 (17.1) 的双曲平衡点或双曲周期轨.

a) 流形 $W^r\left(\gamma \right)$ 和 $W^s\left(\gamma \right)$ 是广义 $C^r$ 曲面,其局部类似 $C^r$ 基本曲面. 若当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 或对应地, $t\to -\mathrm{\infty }$ 时,方程 (17.1) 中一条轨道不收敛到 $\gamma$ ,则当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 或对应地, $t\to -\mathrm{\infty }$ 时,该轨道会离开 $\gamma$ 的某个充分小的邻域.

b) 若 $\gamma =x_0$ 是(m, k)型平衡点,则 $W^s\left(x_0\right)$ 和 $W^u\left(x_0\right)$ 分别是 $m$ 维曲面和 $k$ 维曲面. 曲面 $W^s\left(x_0\right)$ 和 $W^u\left(x_0\right)$ 在 $x_0$ 处分别相切于方程 $\dot{y}=Df\left(x_0\right)y$ 的稳定向量子空间

$$\begin{array}{}\text{(17.20a)}& E^s=\left\{y\in {\mathbb{R}}^n:{\mathrm{e}}^{Df\left(x_0\right)t}y\to 0\text{ 当 }t\to +\mathrm{\infty }\right\}\end{array}$$

和不稳定向量子空间

$$\begin{array}{}\text{(17.20b)}& E^u=\left\{y\in {\mathbb{R}}^n:{\mathrm{e}}^{Df\left(x_0\right)t}y\to 0\text{ 当 }t\to -\mathrm{\infty }\right\}\end{array}$$

c) 若 $\gamma$ 是(m, k)型的双曲周期轨,则 $W^s\left(\gamma \right)$ 和 $W^u\left(\gamma \right)$ 分别是 $m+1$ 维曲面和 $k+1$ 维曲面,它们沿着 $\gamma$ 是横截相交的.

$◼\mathbf{A}$: 为了确定微分方程 (17.19a) 中稳态解(0,0)的局部稳定流形,我们假设 $W_{\text{loc }}^s\left(\left(0,0\right)\right)$ 具有下面形式:

$$W_{\text{loc }}^s\left(\left(0,0\right)\right)=\{\left(x,y\right):y=h\left(x\right),\left|x\right|<\mathrm{\Delta },h:\left(-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }\right)\to \mathbb{R}\text{可微}\}$$

令 $\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ 是方程(17.19a)在 $W_{\mathrm{loc}}^s\left(\left(0,0\right)\right)$ 内的解. 由不变性,当 $s$ 靠近 0 时, 有 $y\left(s\right)=h\left(x\left(s\right)\right)$ . 根据方程 (17.19a) 中 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 的可微性和表达式,我们得到关于未知函数 $h\left(x\right)$ 的初值问题 $h^{\prime }\left(x\right)\left(-x\right)=h\left(x\right)+x^2,h\left(0\right)=0$ . 若考虑解的级数展开形式 $h\left(x\right)=\frac{a_2}{2}{x}^2+\frac{a_3}{3!}{x}^3+\cdots$ ,其中,注意到 $h^{\prime }\left(0\right)=0$ ,则我们通过比较系数可得 $a_2=-\frac{2}{3}$ 和当 $k\ge 3$ 时, $a_k=0$ .

$◼\mathbf{B}$: 对于方程组

$$\begin{array}{}\text{(17.21)}& \dot{x}=-y+x\left(1-x^2-y^2\right),\dot{y}=x+y\left(1-x^2-y^2\right),\dot{z}=\alpha z,\end{array}$$

其中,参数 $\alpha >0$ ,轨线 $\gamma =\{\left(\cos t,\sin t,0\right),t\in \left[0,2\pi \right]\}$ 是周期轨,其乘子 ${\rho }_1=$${\mathrm{e}}^{-4\pi },{\rho }_2={\mathrm{e}}^{\alpha 2\pi },{\rho }_3=1.$

在柱坐标变换 $x=r\cos v,y=r\sin v,z=z$ 下,方程 (17.21) 满足当 $t=0$ 时, 初值为 $\left(r_0,v_0,z_0\right)$ 的解为 $\left(r\left(t,r_0\right),v\left(t,v_0\right),{\mathrm{e}}^{\alpha t}{z}_0\right)$ ,其中 $r\left(t,r_0\right)$ 和 $v\left(t,v_0\right)$ 是方程 (17.19a) 在极坐标下的解. 因此,

$$W^s\left(\gamma \right)=\{\left(x,y,z\right):z=0\}\setminus \{\left(0,0,0\right)\},W^u\left(\gamma \right)=\left\{\left(x,y,z\right):x^2+y^2=1\right\}\text{(圆柱).}$$

分界面如图 17.6 所示.

3. $n=3$ 时稳态解附近的局部相图

考虑当 $n=3$ 时,方程 (17.1) 的双曲平衡点为 0 . 令 $A=Df\left(0\right)$ ,且 $det(\lambda E-$ $A)={\lambda }^3+p{\lambda }^2+q\lambda +r$ 是 $A$ 的特征多项式. 注意到 $\delta =pq-r,\mathrm{\Delta }=-p^2{q}^2+$ $4p^{3}r+4q^3-18pqr+27r^2$ (特征多项式的判别式),平衡点的类型分类见表 17.1.

参数域	$\mathrm{\Delta }$	平衡点类型	特征多项式根	$W^s$ 和 $W^u$ 维数
$\delta >0;q>0,r>0$	$\mathrm{\Delta }<0$	稳定结点	$\mathrm{Im}\lambda j=0$ ${\lambda }_j<0,j=1,2,3$	$\dim W^s=3,\dim W^u=0$
	$\mathrm{\Delta }>0$	稳定焦点	$\mathrm{Re}{\lambda }_{1,2}<0$ ${\lambda }_3<0$

参数域	$\mathrm{\Delta }$	平衡点类型	特征多项式根	$W^s$ 和 $W^u$ 维数
$\delta <0;r<0,q>0$	$\mathrm{\Delta }<0$	不稳定 结点	$\mathrm{Im}\lambda j=0$ ${\lambda }_j>0,j=1,2,3$	$\dim W^s=0,\dim W^u=3$
	$\mathrm{\Delta }>0$	不稳定 焦点	$\mathrm{Re}{\lambda }_{1,2}>0$ ${\lambda }_3>0$

参数域	$\mathrm{\Delta }$	平衡点类型	特征多项式根	$W^s$ 和 $W^u$ 维数
$\delta >0;r<0,q\le 0$ oder $r<0,q>0$	$\mathrm{\Delta }<0$	稳定 结点	$\mathrm{Im}{\lambda }_j=0$ ${\lambda }_{1,2}<0,{\lambda }_3>0$	$\dim W^s=2,\dim W^u=1$
	$\mathrm{\Delta }>0$	稳定 焦点	$\mathrm{Re}{\lambda }_{1,2}<0$ ${\lambda }_3>0$

续表

参数域	$\mathrm{\Delta }$	平衡点类型	特征多项式根	$W^s$ 和 $W^u$ 维数
$\delta <0;r>0,q\le 0$ oder $r>0,q>0$	$\mathrm{\Delta }<0$	稳定 节点	$\mathrm{Im}{\lambda }_j=0$ ${\lambda }_{1,2}>0,{\lambda }_3<0$	$\dim W^s=1,\dim W^u=2$
	$\mathrm{\Delta }>0$	稳定 焦点	$\mathrm{Re}{\lambda }_{1,2}>0$ ${\lambda }_3<0$

$\mathrm{\Delta }<0$ :

$\mathrm{\Delta }>0$ :

4. 同宿轨和异宿轨

设 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 是方程 (17.1) 的双曲平衡点或双曲周期轨. 若分界面 $W^s\left({\gamma }_1\right)$ 和 $W^u\left({\gamma }_2\right)$ 相交,则相交集包含复杂的轨道. 对于两个平衡点或者周期轨,轨线 $\gamma \subset W^s\left({\gamma }_1\right)\cap W^u\left({\gamma }_2\right)$ 称为异宿轨,如果 ${\gamma }_1\ne {\gamma }_2$ (图 17.7(a)); 称为同宿轨,如果 ${\gamma }_1={\gamma }_2$ . 平衡点的同宿轨也称为分界线环(图 17.7(b)).

给定参数 $\sigma =10,b=8/3$ ,考虑带参数 $r$ 的洛伦茨方程 (17.2). 当 $1<r<$ $13.926\cdots$ 时,方程 (17.2) 的平衡点(0,0,0)是鞍点,该点有一个二维稳定流形 $w^s$ 和一个一维不稳定流形 $W^s$ . 若 $r=13.926\cdots$ ,则在(0,0,0)处存在两个分界线环,即当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 时,不稳定流形的分支 (沿稳定流形) 回到原点.

17.1.2.5 庞加莱映射

1. 自治微分方程组的庞加莱映射

令 $\gamma =\left\{\phi \left(t,x_0\right),t\in \left[0,T\right]\right\}$ 是方程 (17.1) 的 $T$ 周期轨, $\sum$ 是 $n-1$ 维光滑超曲面,与轨道 $\gamma$ 在 $x_0$ 处横截相交 (图 17.8(a)). 那么,存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 和光滑函数 $\tau :U\to \mathbb{R}$ 使得 $\tau \left(x_0\right)=T$ ,并且对任意 $x\in U$ ,有 $\phi \left(\tau \left(x\right),x\right)\in \sum$ . 映射 $P:U\cap \sum \to \sum x\to P\left(x\right)=\phi \left(\tau \left(x\right),x\right)$ 称为 $\gamma$ 在 $x_0$ 处的庞加莱映射. 若方程 (17.1) 的右端项 $f$ 是 $r$ 阶连续可微的,则 $P$ 也是 $r$ 阶连续可微的. 雅可比矩阵 $DP\left(x_0\right)$ 的特征值是周期轨的乘子 ${\rho }_1,\cdots ,{\rho }_{n-1}$ . 它们不依赖于 $\gamma$ 上 $x_0$ 的选取,也不依赖于横截曲面的选取.

当 $M=U$ ,且迭代点留在 $U$ 内时,系统 (17.3) 可与庞加莱映射联系起来. 方程 (17.1) 的周期轨对应于离散系统的平衡点, 并且这些平衡点的稳定性对应于方程 (17.1) 周期轨的稳定性.

在极坐标下, 考虑方程 (17.9a) 的横截超平面

$$\sum =\left\{\left(r,v\right):r>0,v=v_0\right\}.$$

选定 $U=\sum$ . 显然 $\tau \left(r\right)=2\pi \left(\mathrm{\forall }r>0\right)$ . 于是,利用方程 (17.9a) 解的表达式,有

$$P\left(r\right)={[1+(r^{-2}-1){\mathrm{e}}^{-4\pi }]}^{-1/2}.$$

故 $P(\sum )=\sum ,P\left(1\right)=1$ 且 $P^{\prime }\left(1\right)={\mathrm{e}}^{-4\pi }<1$ .

2. 非自治时间周期微分方程的庞加莱映射

考虑非自治微分方程 (17.11),右端项 $f$ 关于 $t$ 是 $T$ 周期的,即 $f\left(t+T,x\right)=$ $f\left(t,x\right)\left(\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in M\right)$ . 该方程可表示为自治微分方程 $\dot{x}=f\left(s,x\right),\dot{s}=1$ ,其柱状相平面 $M\times \{s\mathrm{mod}T\}$ . 对任意 $s_0\in \{s\mathrm{mod}T\},\sum =M\times \left\{s_0\right\}$ 是横截面 (图 17.8(b)). 庞加莱映射可在全局给出 $P:\sum \to \sum ,x_0\to \phi \left(s_0+T,s_0,x_0\right)$ ,其中, $\phi \left(t,s_0,x_0\right)$ 是方程 (17.11) 满足在时刻 $s_0$ ,初值为 $x_0$ 的解.

17.1.2.6 微分方程的拓扑等价

1. 定义

除了方程 (17.1) 和相应的流 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathbb{R}}$ ,假设还有一个微分方程

$$\begin{array}{}\text{(17.22)}& \dot{x}=g\left(x\right),\end{array}$$

其中, $g:N\to {\mathbb{R}}^n$ 是开集 $N\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的 $C^r$ 映射. 设方程 (17.22) 的流 ${\left\{{\psi }^t\right\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 存在.

微分方程组 (17.1) 和 (17.22) (或它们的流) 称为拓扑等价, 如果存在同胚映射 $h:M\to N$ (即, $h$ 是双射, $h$ 和 $h^{-1}$ 都是连续映射) 将方程 (17.1) 的每一条轨道映射为方程 (17.22) 的一条轨道, 并且该映射是保定向的, 但未必保参数化. 微分方程组 (17.1) 和 (17.22) 是拓扑等价的,如果除了同胚映射 $h:M\to N$ ,还存在连续映射 $\tau :\mathbb{R}\times M\to \mathbb{R}$ 使得对固定 $x\in M,\tau$ 作为 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 上的映射是严格单调递增的,并且对任意 $x\in M,t\in \mathbb{R}$ ,有 $\tau \left(0,x\right)=0$ 和 $h\left({\phi }^t\left(x\right)\right)={\psi }^{\tau \left(t,x\right)}\left(h\left(x\right)\right)$ .

在拓扑等价的情形下, 方程 (17.1) 的平衡点对应于方程 (17.22) 的平衡点; 方程 (17.1) 的周期轨对应于方程 (17.22) 的周期轨, 但周期不一定相同. 因此, 若微分方程 (17.1) 和 (17.22) 拓扑等价, 则相空间中轨道分解的拓扑结构是相同的. 若方程 (17.1) 和 (17.22) 拓扑等价,并且同胚映射 $h:M\to N$ 是保参数化的,即对任意 $t,x$ ,有 $h\left({\phi }^t\left(x\right)\right)={\psi }^t\left(h\left(x\right)\right)$ ,则称方程 (17.1) 和 (17.22) 是拓扑共轭的.

拓扑等价或拓扑共轭也可在相空间 $M$ 和 $N$ 的子集上定义. 假设,方程 (17.1) 定义在 $U_1\subset M$ 上,方程 (17.22) 定义在 $U_2\subset N$ . 那么, $U_1$ 上方程 (17.1) 拓扑等价于 $U_2$ 上 (17.22),如果存在同胚映射 $h:U_1\to U_2$ 将方程 (17.1) 的每一条轨道与 $U_1$ 的交集映射为方程 (17.22) 的一条轨道与 $U_2$ 的交集,并且该映射是保定向的.

$◼\mathbf{A}$:方程 (17.1) 和 (17.22) 之间的同胚映射可以拉伸和收缩轨道,不可以截断和闭合轨道.

图 17.9(a) 和图 17.9(b) 相图中的流是拓扑等价的; 图 17.9(a) 和图 17.9(c) 相图中的流不是拓扑等价的

$◼\mathbf{B}$: 考虑两个平面线性微分方程组 $\dot{x}=Ax$ 和 $\dot{x}=Bx$ ,其中 $A=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ -3& -1\end{array}\right)$ ,

$B=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& -8\end{array}\right)$ . 这两个系统在(0,0)附近的相图如图 17.10(a) 和 17.10(b)

所示.

同胚映射 $h:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 定义为 $h\left(x\right)=Rx$ ,其中 $R=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ . 函数 $\tau :\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 定义为 $\tau \left(t,x\right)=\frac{1}{2}t$ ,它将第一个系统的轨道映射为第二个系统的轨道. 因此, 这两个系统是拓扑等价的.

2. 格罗布曼-哈特曼 (Grobman-Hartman) 定理

设 $p$ 是方程 (17.1) 的双曲平衡点. 那么,在 $p$ 的某个邻域内,微分方程 (17.1) 与其线性化方程 $\dot{y}=Df\left(p\right)y$ 是拓扑等价的.