14.5.2 初等超越函数

正如在代数函数的情形, 复超越函数有相应于实超越函数的定义. 它们的详细讨论, 请见 [21.1] 或 [21.11].

1. 自然指数函数

$$\begin{array}{}\text{(14.69)}& {\mathrm{e}}^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots .\end{array}$$

此级数在整个 $z$ 平面中是绝对收敛的.

a) 纯虚指数 i $y$ : 根据欧拉关系式 (Euler relation) (参见第 45 页 1.5.2.4),成立

$$\begin{array}{}\text{(14.70)}& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}y}=\cos y+\mathrm{i}\sin y,\text{ 并且 }{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}=-1.\end{array}$$

b) 一般情形 $z=x+\mathrm{i}y$ :

$$\begin{array}{}\text{(14.71a)}& {\mathrm{e}}^z={\mathrm{e}}^{x+\mathrm{i}y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}y}={\mathrm{e}}^x\left(\cos y+\mathrm{i}\sin y\right),\end{array}$$

$\mathrm{Re}\left({\mathrm{e}}^z\right)={\mathrm{e}}^x\cos y,\mathrm{Im}\left({\mathrm{e}}^z\right)={\mathrm{e}}^x\sin y,\left|{\mathrm{e}}^z\right|={\mathrm{e}}^x,\arg \left({\mathrm{e}}^z\right)=y.$ (14.71b)

函数 ${\mathrm{e}}^z$ 是周期的,其周期为 $2\pi \mathrm{i}:{\mathrm{e}}^z={\mathrm{e}}^{z+2k\pi \mathrm{i}}\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$ .(14.71c)

特别地: ${\mathrm{e}}^0={\mathrm{e}}^{2k\pi \mathrm{i}}=1,{\mathrm{e}}^{\left(2k+1\right)\pi \mathrm{i}}=-1$ .(14.71d)

c) 一个复数的指数形式 (参见第 45 页 1.5.2.4):

$$\begin{array}{}\text{(14.72)}& a+\mathrm{i}b=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }.\end{array}$$

d) 复数的欧拉关系 (Euler relation of complex numbers):

$$\begin{array}{}\text{(14.73a)}& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}=\cos z+\mathrm{i}\sin z\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.73b)}& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}=\cos z-\mathrm{i}\sin z\end{array}$$

2. 自然对数

$$\begin{array}{}\text{(14.74a)}& w=\mathrm{Ln}z\text{,如果 }z={\mathrm{e}}^w\text{. }\end{array}$$

由于 $z=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ ,则有

$$\begin{array}{}\text{(14.74b)}& \mathrm{Ln}z=\ln \rho +\mathrm{i}\left(\phi +2k\pi \right)\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(14.74c)}& \mathrm{Re}\left(\mathrm{Ln}z\right)=\ln \rho ,\mathrm{Im}\left(\mathrm{Ln}z\right)=\phi +2k\pi \left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right).\end{array}$$

由于 $\mathrm{Ln}z$ 是一个多值函数 (参见第 112 页 2.8.2),通常只给出该对数的主值 (principal value of the logarithm) $\ln z$ :

$$\begin{array}{}\text{(14.74d)}& \ln z=\ln \rho +\mathrm{i}\phi \left(-\pi <\phi \le \pi \right).\end{array}$$

函数 $\mathrm{Ln}z$ 对于除了 $z=0$ 以外的所有复数都有定义.

3. 一般指数函数

$$\begin{array}{}\text{(14.75a)}& a^z={\mathrm{e}}^{z\mathrm{Ln}a}.\end{array}$$

$a^z\left(a\ne 0\right)$ 是一个多值函数 (参见第 112 页 2.8.2),其主值为

$$\begin{array}{}\text{(14.75b)}& a^z={\mathrm{e}}^{z\ln a}.\end{array}$$

4. 三角函数和双曲函数

$$\begin{array}{}\text{(14.76a)}& \sin z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.76b)}& \cos z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.77a)}& \sinh z=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{2}=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.77b)}& \cosh z=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2}=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots ,\end{array}$$

所有这 4 个级数在整个 $z$ 平面上是收敛的,并且它们都是周期函数. 函数 (14.76a), (14.76b) 的周期是 $2\pi$ ,函数 (14.76c),(14.76d) 的周期是 $2\pi \mathrm{i}$ .

对任意实或复的 $z$ ,这些函数之间的关系是

$$\begin{array}{}\text{(14.78a)}& \sin \mathrm{i}z=\mathrm{i}\sinh z\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.78b)}& \cos \mathrm{i}z=\cosh z,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.79a)}& \sinh \mathrm{i}z=\mathrm{i}\sin z\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.79b)}& \cosh \mathrm{i}z=\cos z.\end{array}$$

实三角和双曲函数的变换公式 (参见第 103 页 2.7.2 和第 117 页 2.9.3) 对于复三角和双曲函数也成立. 可以借助于 $\sin \left(a+b\right),\cos \left(a+b\right),\sinh \left(a+b\right),\cosh \left(a+b\right)$ 的公式,或利用欧拉关系 (参见第 45 页 1.5.2.4) 来计算变量 $z=x+\mathrm{i}y$ 的函数 $\sin z,\cos z,\sinh z,\cosh z$ 的值.

$\cos \left(x+\mathrm{i}y\right)=\cos x\cos \mathrm{i}y-\sin x\sin \mathrm{i}y=\cos x\cosh y-\mathrm{i}\sin x\sinh y.\left(14.80\right)$因而

$$\begin{array}{}\text{(14.81a)}& \mathrm{Re}\left(\cos z\right)=\cos \mathrm{Re}\left(z\right)\cosh \mathrm{Im}\left(z\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.81b)}& \mathrm{Im}\left(\cos z\right)=-\sin \mathrm{Re}\left(z\right)\sinh \mathrm{Im}\left(z\right).\end{array}$$

通过下列公式定义来函数 $\tan z,\cot z,\tanh z,\coth z$ :

$$\begin{array}{}\text{(14.82a)}& \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.82b)}& \tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z},\coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z}.\end{array}$$

5. 反三角函数和反双曲函数

这些函数都是多值函数, 可以借助于对数函数来表示它们:

$$\begin{array}{}\text{(14.83a)}& \mathrm{Arcsin}z=-\mathrm{i}\mathrm{Ln}\left(\mathrm{i}z+\sqrt{1-z^2}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.83b)}& \mathrm{Arsinh}z=\mathrm{Ln}\left(z+\sqrt{z^2+1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.84a)}& \mathrm{Arccos}z=-\mathrm{i}\mathrm{Ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.84b)}& \mathrm{Arcosh}z=\mathrm{Ln}\left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.85a)}& \mathrm{Arctan}z=\frac{1}{2\mathrm{i}}\mathrm{Ln}\frac{1+\mathrm{i}z}{1-\mathrm{i}z},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.85b)}& \mathrm{Artanh}z=\frac{1}{2}\mathrm{Ln}\frac{1+z}{1-z}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.86a)}& \mathrm{Arccot}z=-\frac{1}{2\mathrm{i}}\mathrm{Ln}\frac{\mathrm{i}z+1}{\mathrm{i}z-1},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.86b)}& \mathrm{Arcoth}z=\frac{1}{2}\mathrm{Ln}\frac{z+1}{z-1}.\end{array}$$

反三角函数和反双曲函数的主值 (principal values) 可以用对数 $\ln z$ 主值的相同公式来表示:

$$\begin{array}{}\text{(14.87a)}& \arcsin z=-\mathrm{i}\ln \left(\mathrm{i}z+\sqrt{1-z^2}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.87b)}& \mathrm{arsinh}z=\ln \left(z+\sqrt{z^2+1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.88a)}& \arccos z=-\mathrm{i}\ln \left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.88b)}& \mathrm{arcosh}z=\ln \left(z+\sqrt{z^2-1}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.89a)}& \arctan z=\frac{1}{2\mathrm{i}}\ln \frac{1+\mathrm{i}z}{1-\mathrm{i}z},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.89b)}& \mathrm{artanh}z=\frac{1}{2}\ln \frac{1+z}{1-z},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.90a)}& \mathrm{arccot}z=-\frac{1}{2\mathrm{i}}\ln \frac{\mathrm{i}z+1}{\mathrm{i}z-1}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(14.90b)}& \mathrm{arcoth}z=\frac{1}{2}\ln \frac{z+1}{z-1}.\end{array}$$

6. 三角函数和双曲函数的实部和虚部 (表 14.1)

函数 $w=f\left(x+\mathrm{i}y\right)$	实部 $\mathrm{Re}\left(w\right)$	虚部 $\mathrm{Im}\left(w\right)$
$\sin \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sin x\cosh y$	$\pm \cos x\sinh y$
$\cos \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\cos x\cosh y$	$\mp \sin x\sinh y$
$\tan \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sin 2x$ $\cos 2x+\cosh 2y$	sinh $2y$ $\cos 2x+\cosh 2y$
$\sinh \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sinh x\cos y$	$\pm \cosh x\sin y$
$\cosh \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\cosh x\cos y$	$\pm \sinh x\sin y$
$\tanh \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	sinh $2x$ $\cosh 2x+\cos 2y$	$\pm \frac{\sin 2y}{\cosh 2x+\cos 2y}$

7. 三角函数和双曲函数的绝对值和辐角 (表 14.2)

函数 $w=f\left(x+\mathrm{i}y\right)$	绝对值 $\left|w\right|$	辐角 $\arg w$
$\sin \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sqrt{{\sin }^{2}x+{\sinh }^{2}y}$	$\pm \arctan \left(\cot x\tanh y\right)$
$\cos \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sqrt{{\cos }^{2}x+{\sinh }^{2}y}$	$\mp \arctan \left(\tan x\tanh y\right)$
$\sinh \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sqrt{{\sinh }^{2}x+{\sin }^{2}y}$	$\pm \arctan \left(\coth x\tan y\right)$
$\cosh \left(x\pm \mathrm{i}y\right)$	$\sqrt{{\sinh }^{2}x+{\cos }^{2}y}$	$\pm \arctan \left(\tanh x\tan y\right)$