11.5.2 有柯西核的奇异积分方程

11.5.2.1 问题的表述

考虑下述积分方程:

$$\begin{array}{}\text{(11.72)}& a\left(x\right)\phi \left(x\right)+\frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{K\left(x,y\right)}{y-x}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

$\mathrm{\Gamma }$ 是复平面中一组有限数目的光滑简单闭曲线,它们形成一个包含原点的连通内部区域 $S^{+}$ 和一个外部区域 $S^{-}$ . 沿着曲线行进, $S^{+}$ 总是在 $\mathrm{\Gamma }$ 的左边. 一个函数 $u\left(x\right)$ 是赫尔德连续的(Hölder continuous)(或者满足赫尔德条件 (Hölder condition)),如果对于任意一对 $x_1,x_2\in \mathrm{\Gamma }$ 成立关系式

$$\begin{array}{}\text{(11.73)}& \left|u\left(x_1\right)-u\left(x_2\right)\right|<K{|x_1-x_2|}^{\beta },0<\beta \le 1,K>0.\end{array}$$

假设函数 $\alpha \left(x\right),f\left(x\right)$ 和 $\phi \left(x\right)$ 是赫尔德连续的,其指数为 ${\beta }_1$ ,并且 $K\left(x,y\right)$ 关于两个自变量都是赫尔德连续的,指数为 ${\beta }_2\left(>{\beta }_1\right)$ . 当 $x=y$ 时,核 $K\left(x,y\right)(y-$ $x{)}^{-1}$ 有一个强奇点. 积分作为柯西积分主值存在. 记 $K\left(x,x\right)=b\left(x\right),k\left(x,y\right)=$ $\frac{K\left(x,y\right)-K\left(x,x\right)}{y-x}$ ,则 (11.72) 以下述形式成立:

$$\left(\mathcal{L}\phi \right)\left(x\right)\text{:=}a\left(x\right)\phi \left(x\right)+\frac{b\left(x\right)}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\phi \left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y+\frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}k\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right),x\in$$

(11.74a)表达式 $\left(\mathcal{L}\phi \right)\left(x\right)$ 以缩写形式表示积分方程的左端. $\mathcal{L}$ 是一个奇异算子. 函数 $k\left(x,y\right)$ 是一个弱奇异核. 假设成立正规性条件 $a{\left(x\right)}^2-b{\left(x\right)}^2\ne 0,x\in \mathrm{\Gamma }$ . 方程

$$\begin{array}{}\text{(11.74b)}& \left({\mathcal{L}}_0\phi \right)\left(x\right)=a\left(x\right)\phi \left(x\right)+\frac{b\left(x\right)}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\phi \left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y=f\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }\end{array}$$

是与 (11.74a) 相关的特征方程 (characteristic equation). 算子 ${\mathcal{L}}_0$ 是算子 $\mathcal{L}$ 的特征部分.(11.74a) 的伴随积分方程导致等式

$$\left({\mathcal{L}}^{\mathrm{\top }}\psi \right)\left(y\right)=a\left(y\right)\psi \left(y\right)-\frac{b\left(y\right)}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\psi \left(x\right)}{x-y}\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\left(k\left(x,y\right)-\frac{b\left(x\right)-b\left(y\right)}{x-y}\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{}\text{(11.74c)}& =g\left(y\right),y\in \mathrm{\Gamma }\text{.}\end{array}$$

11.5.2.2 解的存在性

方程 $\left(\mathcal{L}\phi \right)\left(x\right)=f\left(x\right)$ 有解,当且仅当齐次转置方程 $\left({\mathcal{L}}^{\mathrm{T}}\psi \right)\left(y\right)=0$ 的每个解 $\psi \left(y\right)$ 满足正交性条件

$$\begin{array}{}\text{(11.75a)}& {\int }_{\mathrm{\Gamma }}f\left(y\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y=0.\end{array}$$

类似地,转置方程 $\left({\mathcal{L}}^{\mathrm{T}}\psi \right)\left(y\right)=g\left(y\right)$ 有解,如果齐次方程 $\left(\mathcal{L}\phi \right)\left(x\right)=0$ 的每个解 $\phi \left(x\right)$ 满足

$$\begin{array}{}\text{(11.75b)}& {\int }_{\mathrm{\Gamma }}g\left(x\right)\phi \left(x\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

11.5.2.3 柯西型积分的性质

下述函数被称为 $\mathrm{\Gamma }$ 上的一个柯西型积分(Cauchy type integral):

$$\begin{array}{}\text{(11.76a)}& \mathrm{\Phi }\left(z\right)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\phi \left(y\right)}{y-z}\mathrm{d}y,z\in \mathbb{C}.\end{array}$$

当 $z\notin \mathrm{\Gamma }$ 时,积分在通常的意义下存在,并且表示一个全纯函数 (参见第 954 页 14.1.2). 还成立 $\mathrm{\Phi }\left(\mathrm{\infty }\right)=0$ . 当 $z=x\in \mathrm{\Gamma }$ 时,(11.76a) 被考虑为柯西积分主值

$$\begin{array}{}\text{(11.76b)}& \left(\mathcal{H}\phi \right)\left(x\right)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\phi \left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y,x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

柯西型积分 $\mathrm{\Phi }\left(z\right)$ 可以从 $S^{+}$ 和 $S^{-}$ 连续地延拓到 $\mathrm{\Gamma }$ 上. 当 $z$ 趋近于 $x\in \mathrm{\Gamma }$ 时的极限分别表示为 ${\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)$ 和 ${\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right)$ . 普勒梅利 (Plemelj) 和 Sochozki 公式成立:

$$\begin{array}{}\text{(11.76c)}& {\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)=\frac{1}{2}\phi \left(x\right)+\left(\mathcal{H}\phi \right)\left(x\right),{\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right)=-\frac{1}{2}\phi \left(x\right)+\left(\mathcal{H}\phi \right)\left(x\right).\end{array}$$

11.5.2.4 希尔伯特边值问题

1. 关系式

特征积分方程的解与希尔伯特边值问题密切相关. 如果 $\phi \left(x\right)$ 是 (11.74b) 的一个解,则 (11.76a) 是 $S^{+}$ 和 $S^{-}$ 上的全纯函数,并且 $\mathrm{\Phi }\left(\mathrm{\infty }\right)=0$ . 由于普勒梅利和 Sochozki 公式 (11.76c), 有

$$\begin{array}{}\text{(11.77a)}& \phi \left(x\right)={\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)-{\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right),2\left(\mathcal{H}\phi \right)\left(x\right)={\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)+{\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

引进记号

$$\begin{array}{}\text{(11.77b)}& G\left(x\right)=\frac{a\left(x\right)-b\left(x\right)}{a\left(x\right)+b\left(x\right)}\text{ 和 }g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{a\left(x\right)+b\left(x\right)},\end{array}$$

则特征积分方程有形式:

$$\begin{array}{}\text{(11.77c)}& {\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)=G\left(x\right){\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right)+g\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

2. 希尔伯特边值问题

求一个函数 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ ,它在 $S^{+}$ 和 $S^{-}$ 上是全纯的,在无穷远处为 0,并且在 $\mathrm{\Gamma }$ 上满足边界条件 (11.77c). 在 (11.76a) 中给出了希尔伯特问题的一个解 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ . 因而, (11.77a) 第一个方程就确定了特征积分方程的一个解 $\phi \left(x\right)$ .

11.5.2.5 希尔伯特边值问题 (简言之: 希尔伯特问题) 之解

1. 齐次边界条件

$$\begin{array}{}\text{(11.78)}& {\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)=G\left(x\right){\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

在点 $x$ 沿着曲线 ${\mathrm{\Gamma }}_l$ 的单个环流期间, $\log G\left(x\right)$ 的值改变了 $2\pi \mathrm{i}{\lambda }_l$ ,这里 ${\lambda }_l$ 是一个整数. 在对完全的曲线组 $\mathrm{\Gamma }$ 做了单个的遍历后,函数 $\log G\left(x\right)$ 值的改变为

$$\begin{array}{}\text{(11.79a)}& \sum _{l=0}^{n}2\pi \mathrm{i}{\lambda }_l=2\pi \mathrm{i}\kappa \end{array}$$

数 $\kappa =\sum _{l=0}^n{\lambda }_l$ 被称为希尔伯特问题的指数 (index of the Hilbert problem). 现在构成一个函数 $G_0\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(11.79b)}& G_0\left(x\right)={(x-a_0)}^{-\kappa }\mathrm{\Pi }\left(x\right)G\left(x\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.79c)}& \mathrm{\Pi }\left(x\right)={(x-a_1)}^{{\lambda }_1}{(x-a_2)}^{{\lambda }_2}\cdots {(x-a_n)}^{{\lambda }_n},\end{array}$$

其中 $a_0\in S^{+}$ ,而 $a_l\left(l=1,\cdots ,n\right)$ 是 ${\mathrm{\Gamma }}_l$ 内部任意的固定点. 如果 $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0$ 是一条简单闭曲线 $\left(n=0\right)$ ,则定义 $\mathrm{\Pi }\left(x\right)=1$ . 令

$$\begin{array}{}\text{(11.79d)}& I\left(z\right)\text{:=}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\log G_0\left(y\right)}{y-z}\mathrm{d}y,\end{array}$$

就得到齐次希尔伯特问题的下述称为基本解的特解

$$\begin{array}{}\text{(11.79e)}& X\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{\Pi }}^{-1}\left(z\right)\exp I\left(z\right),& z\in S^{+},\\ {(z-a_0)}^{-\kappa }\exp I\left(z\right),& z\in S^{-}.\end{array}\end{array}$$

对于任何有限的 $z$ ,这个函数不为 0 . 对于 $\kappa >0$ ,齐次希尔伯特问题在无穷远处为 0 的最一般的解为

$$\begin{array}{}\text{(11.80)}& {\mathrm{\Phi }}_h\left(z\right)=X\left(z\right)P_{\kappa -1}\left(z\right),z\in \mathbb{C},\end{array}$$

其中 $P_{\kappa -1}\left(z\right)$ 是一个次数至多为 $\kappa -1$ 的任意多项式. 对于 $\kappa \le 0$ ,满足条件 ${\mathrm{\Phi }}_h\left(\mathrm{\infty }\right)=0$ 的只有平凡解 ${\mathrm{\Phi }}_h\left(z\right)=0$ ,因而在此情形 $P_{\kappa -1}\left(z\right)\equiv 0$ . 对于 $\kappa >0$ ,齐次希尔伯特问题有 $\kappa$ 个线性无关解在无穷远处为 0 .

2. 非齐次边界条件

非齐次希尔伯特问题的解是

$$\begin{array}{}\text{(11.81)}& \mathrm{\Phi }\left(z\right)=X\left(z\right)R\left(z\right)+{\mathrm{\Phi }}_h\left(z\right),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(11.82)}& R\left(z\right)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{g\left(y\right)\mathrm{d}y}{X^{+}\left(y\right)\left(y-z\right)}.\end{array}$$

如果 $\kappa <0$ ,对于在无穷远处为 0 的解的存在性,必须满足下述充要条件:

$$\begin{array}{}\text{(11.83)}& {\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{y^{k}g\left(y\right)\mathrm{d}y}{X^{+}\left(y\right)}=0\left(k=0,1,\cdots ,-\kappa -1\right).\end{array}$$

11.5.2.6 特征积分方程的解

1. 齐次特征积分方程

如果 ${\mathrm{\Phi }}_h\left(z\right)$ 是相应的齐次希尔伯特问题的解,从 (11.77a) 即得齐次积分方程的解

$$\begin{array}{}\text{(11.84a)}& {\phi }_h\left(x\right)={\mathrm{\Phi }}_h^{+}\left(x\right)-{\mathrm{\Phi }}_h^{-}\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

对于 $\kappa \le 0$ ,只存在平凡解 ${\phi }_h\left(x\right)=0$ . 对于 $\kappa >0$ ,通解为

$$\begin{array}{}\text{(11.84b)}& {\phi }_h\left(x\right)=\left[X^{+}\left(x\right)-X^{-}\left(x\right)\right]P_{\kappa -1}\left(x\right),\end{array}$$

其中多项式 $P_{\kappa -1}$ 的次数至多为 $\kappa -1$ .

2. 非齐次特征积分方程

如果 $\mathrm{\Phi }\left(z\right)$ 是非齐次希尔伯特问题的通解,那么由 (11.77a) 可以给出齐次积分方程的解:

$$\begin{array}{}\text{(11.85a)}& \phi \left(x\right)={\mathrm{\Phi }}^{+}\left(x\right)-{\mathrm{\Phi }}^{-}\left(x\right)\end{array}$$$$=X^{+}\left(x\right)R^{+}\left(x\right)-X^{-}\left(x\right)R^{-}\left(x\right)+{\mathrm{\Phi }}_h^{+}\left(x\right)-{\mathrm{\Phi }}_h^{-}\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }.\left(11.85\mathrm{b}\right)$$

利用普勒梅利和 Sochozki 公式 (11.76c),对于 $R\left(z\right)$ 有

$$R^{+}\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{g\left(x\right)}{X^{+}\left(x\right)}+\left(\mathcal{H}\frac{g}{X^{+}}\right)\left(x\right),R^{-}\left(x\right)=-\frac{1}{2}\frac{g\left(x\right)}{X^{+}\left(x\right)}+\left(\mathcal{H}\frac{g}{X^{+}}\right)\left(x\right)$$

(11.85c)

把(11.85c)代入(11.85a),并考虑(11.76b)以及 $g\left(x\right)=f\left(x\right)/\left(a\left(x\right)+b\left(x\right)\right)$ ,最终得到解

$$\phi \left(x\right)=\frac{X^{+}\left(x\right)+X^{-}\left(x\right)}{2\left(a\left(x\right)+b\left(x\right)\right)X^{+}\left(x\right)}f\left(x\right)$$$$+\left(X^{+}\left(x\right)-X^{-}\left(x\right)\right)\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{f\left(y\right)}{\left(a\left(y\right)+b\left(y\right)\right)X^{+}\left(y\right)\left(y-x\right)}\mathrm{d}y$$$$\begin{array}{}\text{(11.86)}& +{\phi }_h\left(x\right),x\in \mathrm{\Gamma }\end{array}$$

根据 (11.83),在 $\kappa <0$ 的情形,为了保证解的存在性,下述关系式必须同时成立:

$$\begin{array}{}\text{(11.87)}& {\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{y^{k}f\left(y\right)}{\left(a\left(y\right)+b\left(y\right)\right)X^{+}\left(y\right)}\mathrm{d}y=0\left(k=0,1,\cdots ,-\kappa -1\right).\end{array}$$

用常系数 $a$ 和 $b$ 给出特征积分方程: $a\phi \left(x\right)+\frac{b}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{\phi \left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y=f\left(x\right)$ . 这里 $\mathrm{\Gamma }$ 是一条简单闭曲线,即 $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0\left(n=0\right)$ . 从 (11.77b) 即得 $G=\frac{a-b}{a+b}$ 和 $g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{a+b}$ . $G$ 是一个常数,所以 $\kappa =0$ . 因而 $\mathrm{\Pi }\left(x\right)=1$ 以及 $G_0=G=\frac{a-b}{a+b}.I\left(z\right)=$ $\log \frac{a-b}{a+b}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{1}{y-x}\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}\log \frac{a-b}{a+b},& z\in S^{+},\\ 0,& z\in S^{-},\end{array}X\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{a-b}{a+b},& z\in S^{+},\\ 1,& z\in S^{-},\end{array}$ 即 $X^{+}=\frac{a-b}{a+b},X^{-}=1$ . 由于有 $\kappa =0$ ,所以齐次希尔伯特边值问题在无穷远处为 0 的解只有函数 ${\mathrm{\Phi }}_h\left(z\right)=0$ . 由 (11.86) 即得

$$\phi \left(x\right)=\frac{X^{+}+X^{-}}{2\left(a+b\right)X^{+}}f\left(x\right)+\frac{X^{+}-X^{-}}{2\left(a+b\right)X^{+}}\frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{f\left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y$$$$=\frac{a}{a^2-b^2}f\left(x\right)-\frac{b}{a^2-b^2}\frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{f\left(y\right)}{y-x}\mathrm{d}y.$$