15.5.4 离散小波变换

15.5.4.1 快速小波变换

积分表达式 (15.152b) 是冗余的, 双重积分可用积分和代替而不会丢失信息. 在小波变换的实际应用中考虑该思想, 我们需要:

(1)高效的变换算法,可引出多尺度分析的概念；

(2)高效的逆变换算法, 即根据其小波变换重建信号的高效方式, 可引出标架的概念.

有关这些概念的更多细节可参见 [15.10] 和 [15.1].

注 小波在诸多不同应用中有巨大成功, 比如

• 根据测量序列计算物理量;

• 模式与语音识别;

• 新闻传播中的数据压缩;

都建立在 “快速算法” 的基础上. 与FFT(快速傅里叶变换, 参见第 1288 页 19.6.4.2) 类似, 可在此处讨论FWT(快速小波变换).

15.5.4.2 离散哈尔小波变换

哈尔小波变换是一个离散小波变换的例子: 值 $f_i\left(i=1,2,\cdots ,N\right)$ 根据信号给出,具体的数值 $d_i\left(i=1,2,\cdots ,N/2\right)$ 可计算:

$$\begin{array}{}\text{(15.155)}& s_i=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(f_{2i-1}+f_{2i}\right),d_i=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(f_{2i-1}-f_{2i}\right).\end{array}$$

当把 (15.155) 应用到数值 $s_i$ 中时,首先把数值 $d_i$ 存储起来,即在 (15.155) 中, 值 $f_i$ 被 $s_i$ 代替. 继续进行该程序,从而最终由

$$\begin{array}{}\text{(15.156)}& s_i^{(n+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(s_{2i-1}^{\left(n\right)}+s_{2i}^{\left(n\right)}\right),d_i^{(n+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(s_{2i-1}^{\left(n\right)}-s_{2i}^{\left(n\right)}\right)\end{array}$$

形成了分量为 $d_i^{\left(n\right)}$ 的具体向量列. 每一个具体向量包含了有关信号性质的信息.

注 当数值 $N$ 较大时,离散小波变换收敛于积分小波变换 (15.152a).