12.7.3 弗雷德霍姆择一性

设 $T$ 是巴拿赫空间 $X$ 中的紧线性算子. 考虑带参数 $\lambda \ne 0$ 的 (第二类) 方程:

$$\begin{array}{}\text{(12.189)}& \lambda x-Tx=y,\lambda x-Tx=0,\end{array}$$$$\lambda f-T^{\ast }f=g,\lambda f-T^{\ast }f=0.$$

下列命题成立:

**a) $\dim \ast \ast \left(\ker \left(\lambda I-T\right)\right)=\dim \left(\ker \left(\lambda I-T^{\ast }\right)\right)<\mathrm{\infty }$ ,即两个齐次方程总有相同的线性无关解数.

**b) $\mathrm{Im}(\ast \ast \lambda I-T)=\ker {(\lambda I-T^{\ast })}^{\mathrm{\perp }}$ 和 ${}^{\oplus }\mathrm{Im}\left(\lambda I-T^{\ast }\right)=\ker {(\lambda I-T)}^{\mathrm{\perp }}$ .

**c) $\mathrm{Im}(\ast \ast \lambda I-T)=X$ 当且仅当 $\ker \left(\lambda I-T\right)=0$ .

d) 弗雷德霍姆择一性(也称里斯-绍德尔定理):

$\alpha$ ) 要么齐次方程仅有平凡解. 这种情形下 $\lambda \in \varrho \left(T\right)$ ,算子 ${(\lambda I-T)}^{-1}$ 有界,并且非齐次方程对于任意 $y\in X$ 恰有一个解.

$\beta$ ) 或者齐次方程至少有一个不平凡解. 这种情形下, $\lambda$ 是 $T$ 的本征值,即 $\lambda \in$ $\sigma \left(T\right)$ ,并且非齐次方程有 (非唯一) 解的充分必要条件是,对于伴随方程 $\lambda f-T^{\ast }f=$ 0 的每个解 $f$ ,右端 $y$ 满足 $f\left(y\right)=0$ . 在后一种情形下,非齐次方程的每个解具有形式 $x=x_0+h$ ,其中 $x_0$ 是非齐次方程的一个特定解,而 $h\in \ker \left(\lambda I-T\right)$ .

对于紧算子 $T$ ,形如 $Tx=y$ 的方程称作第一类方程. 其数学研究一般说来更困难 (见 [12.12], [12.21]).