19.3.1 一般求积公式

若被积函数 $f\left(x\right)$ 不能被初等微积分求积,或计算太复杂,或函数仅在区间 $\left[a,b\right]$ 上有限个节点 $x_v$ 已知,定积分

$$\begin{array}{}\text{(19.69)}& I\left(f\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

的数值计算必定是近似的. 所谓求积公式是用来近似计算 (19.69) 的. 有如下一般形式

$$\begin{array}{}\text{(19.70)}& Q\left(f\right)=\sum _{\nu =0}^n{c}_{0\nu }{y}_{\nu }+\sum _{\nu =0}^n{c}_{1\nu }{y}_{\nu }^{\left(1\right)}+\cdots +\sum _{\nu =0}^n{c}_{p\nu }{y}_{\nu }^{\left(p\right)},\end{array}$$

其中 $y_v^{\left(\mu \right)}=f^{\left(\mu \right)}\left(x_v\right)\left(\mu =1,2,\cdots ,p;v=1,2,\cdots ,n\right),y_v=f\left(x_v\right),c_{\mu v}$ 为常数值. 显然

$$\begin{array}{}\text{(19.71)}& I\left(f\right)=Q\left(f\right)+R,\end{array}$$

其中 $R$ 为求积公式的误差. 使用求积公式时假设所需的被积函数 $f\left(x\right)$ 节点值及其导数值都是已知的. 仅用到节点值的公式称为均值公式, 用到导数值的公式称为埃尔米特求积公式.