1.4.2 特殊不等式

1.4.2.1 实数的三角不等式

对于任意实数 $a, b$ 和 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in R$ ,有以下不等式成立

\begin{matrix} (1.104) & | a + b | \leq | a | + | b | \end{matrix}

\begin{matrix} (1.105) & | a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} | \leq | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} | . \end{matrix}

两个或多个实数和的绝对值小于等于其绝对值之和, 当且仅当被加数的符号相同时, 等式成立.

1.4.2.2 复数的三角不等式

对于 $n$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n} \in C$ ,有

\begin{matrix} (1.106) & | z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} | \end{matrix}

\begin{matrix} (1.107) & | z_{1} + z_{2} + \dots + z_{n} | \leq | z_{1} | + | z_{2} | + \dots + | z_{n} | . \end{matrix}

1.4.2.3 实数和复数差的绝对值不等式

对于任意实数 $a, b \in R$ ,有不等式

\begin{matrix} (1.108a) & ∥ a | - | b ∥\leq | a - b | \leq | a | + | b | . \end{matrix}

两个实数之差的绝对值小于等于其绝对值之和, 但大于等于其绝对值之差的绝对值. 对于任意两个复数 $z_{1}, z_{2} \in C$ ,有

\begin{matrix} (1.108b) & ‖ \begin{matrix} z_{1} | - | z_{2} \end{matrix} ‖ \leq | z_{1} - z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} | . \end{matrix}

1.4.2.4 算术平均和几何平均不等式

\begin{matrix} (1.109) & \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}, 其中 a_{i} > 0. \end{matrix}

$n$ 个正数的算术平均值大于等于其几何平均值,当且仅当 $n$ 个数全部相等时, 等式成立.

1.4.2.5 算术平均和二次均值不等式

\begin{matrix} (1.110) & | \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} | \leq \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}} . \end{matrix}

$n$ 个数算术平均值的绝对值小于等于其二次均值.

1.4.2.6 实数不同平均值的不等式

对于两个正实数 $a$ 和 $b$ 的调和平均值、几何平均值、算术平均值和二次均值, 当 $a < b$ 时,有下述不等式成立 (也可参见第 25 页 1.2.5.5):

\begin{matrix} (1.111a) & a < x_{H} < x_{G} < x_{A} < x_{Q} < b, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (1.111b) & x_{A} = \frac{a + b}{2}, x_{G} = \sqrt{a b}, x_{H} = \frac{2 a b}{a + b}, x_{Q} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} . \end{matrix}

1.4.2.7 伯努利不等式

对于任意实数 $a \geq - 1$ 和整数 $n \geq 1$ ,有

\begin{matrix} (1.112) & {(1 + a)}^{n} \geq 1 + n a . \end{matrix}

当且仅当 $n = 1$ 或 $a = 0$ 时,等式成立.

1.4.2.8 二项式不等式

对任意实数 $a, b \in R$ ,有

\begin{matrix} (1.113) & | a b | \leq \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) \end{matrix}

1.4.2.9 柯西-施瓦茨不等式

1. 柯西-施瓦茨实数不等式

对于任意实数 $a_{i}, b_{j} \in R$ ,有柯西-施瓦茨不等式成立:

\begin{matrix} (1.114a) & | a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} | \leq \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (1.114b) & {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) . \end{matrix}

对于有 $n$ 个实数的两个有限序列,对应数乘积之和小于等于两组数平方和的平方根之积. 当且仅当 $a_{1} : b_{1} = a_{2} : b_{2} = \dots = a_{n} : b_{n}$ 时,等式成立.

若 $n = 3$ ,把 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ 和 ${b_{1}, b_{2}, b_{3}}$ 视为笛卡儿坐标系中的向量,则柯西 - 施瓦茨不等式即指两向量内积的绝对值小于等于两向量绝对值之积. 若 $n > 3$ ,这一表述可扩展到 $n$ 维欧几里得空间的向量.

2. 柯西-施瓦茨复数不等式

考虑到复数 ${| z |}^{2} = z^{*} z (z^{*}$ 是 $z$ 的复共轭数),对于任意复数 $z_{i}, w_{j} \in C$ ,不等式 (1.114b) 也成立:

{(z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} + \dots + z_{n} w_{n})}^{*} (z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2} + \dots + z_{n} w_{n})

\begin{matrix} (1.115) & \leq (z_{1}^{*} z_{1} + z_{2}^{*} z_{2} + \dots + z_{n}^{*} z_{n}) (w_{1}^{*} w_{1} + w_{2}^{*} w_{2} + \dots + w_{n}^{*} w_{n}) . \end{matrix}

3. 无穷收敛级数的柯西-施瓦茨不等式和柯西-施瓦茨积分不等式

对无穷收敛级数和某些积分, 也有类似于 (1.114b) 式的柯西-施瓦茨不等式:

\begin{matrix} (1.116) & {(\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n})}^{2} \leq (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}) (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} (1.117) & {[\int_{a}^{b} f (x) φ (x) d x]}^{2} \leq (\int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x) (\int_{a}^{b} {[φ (x)]}^{2} d x) . \end{matrix}

1.4.2.10 切比雪夫不等式

若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 是正实数,则下述不等式成立:

\begin{matrix} (1.118a) & (\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}) (\frac{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}}{n}) \leq \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}}{n}, \end{matrix}

其中

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}, b_{1} \leq b_{2} \leq \dots \leq b_{n},

或

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}, b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

且

\begin{matrix} (1.118b) & (\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}) (\frac{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}}{n}) \geq \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}}{n}, \end{matrix}

其中 $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}, b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n}$ .

两个有限序列各有 $n$ 个正数,若两序列都是递增序列或递减序列,则两序列的算术平均值之积小于等于其对应数之积的算术平均值; 但若一个序列递增, 另一个序列递减, 则其反向不等式成立.

1.4.2.11 广义切比雪夫不等式

若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 是正实数,则下述不等式成立:

\sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + \dots + a_{n}^{k}}{n}} \sqrt[k]{\frac{b_{1}^{k} + b_{2}^{k} + \dots + b_{n}^{k}}{n}}

\begin{matrix} (1.119a) & \leq \sqrt[k]{\frac{{(a_{1} b_{1})}^{k} + {(a_{2} b_{2})}^{k} + \dots + {(a_{n} b_{n})}^{k}}{n}}, \end{matrix}

其中

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}, b_{1} \leq b_{2} \leq \dots \leq b_{n},

或

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}, b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

且

\sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + \dots + a_{n}^{k}}{n}} \sqrt[k]{\frac{b_{1}^{k} + b_{2}^{k} + \dots + b_{n}^{k}}{n}}

\begin{matrix} (1.119b) & \geq \sqrt[k]{\frac{{(a_{1} b_{1})}^{k} + {(a_{2} b_{2})}^{k} + \dots + {(a_{n} b_{n})}^{k}}{n}}, \end{matrix}

其中, $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}, b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n}$ .

1.4.2.12 赫尔德不等式

1. 赫尔德级数不等式

若 $p$ 和 $q$ 是两个实数,且满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ,设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \dots$ , $y_{n}$ 是任意 $2 n$ 个复数,则下述不等式成立:

\begin{matrix} (1.120a) & \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} y_{k} | \leq {[\sum_{k = 1}^{n} {| x_{k} |}^{p}]}^{\frac{1}{p}} {[\sum_{k = 1}^{n} {| y_{k} |}^{q}]}^{\frac{1}{q}} . \end{matrix}

对于可数的无限数对, 该不等式仍然成立:

\begin{matrix} (1.120b) & \sum_{k = 1}^{\infty} | x_{k} y_{k} | \leq {[\sum_{k = 1}^{\infty} {| x_{k} |}^{p}]}^{\frac{1}{p}} {[\sum_{k = 1}^{\infty} {| y_{k} |}^{q}]}^{\frac{1}{q}} . \end{matrix}

其中, 根据右边级数的收敛性可推出左边级数的收敛性.

2. 赫尔德积分不等式

若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是可测空间 $(X, A, μ)$ 的两个可测函数 (参见第 907 页 12.9.2), 则下述不等式成立:

\begin{matrix} (1.120c) & \int_{X} | f (x) g (x) | d μ \leq {[\int_{X} {| f (x) |}^{p} d μ]}^{\frac{1}{p}} {[\int_{X} {| g (x) |}^{q} d μ]}^{\frac{1}{q}} . \end{matrix}

1.4.2.13 闵可夫斯基不等式

1. 闵可夫斯基级数不等式

若 $p \geq 1, {x_{k}}_{k = 1}^{k = \infty}$ 和 ${y_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ 是两列数,且 $x_{k}, y_{k} \in C$ ,则有

\begin{matrix} (1.121a) & {[\sum_{k = 1}^{\infty} {| x_{k} + y_{k} |}^{p}]}^{\frac{1}{p}} \leq {[\sum_{k = 1}^{\infty} {| x_{k} |}^{p}]}^{\frac{1}{p}} + {[\sum_{k = 1}^{\infty} {| y_{k} |}^{p}]}^{\frac{1}{p}} . \end{matrix}

2. 闵可夫斯基积分不等式

若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是可测空间 $(X, A, μ)$ 的两个可测函数 (参见第 907 页 12.9.2) 则有

\begin{matrix} (1.121b) & {[\int_{X} {| f (x) + g (x) |}^{p} d μ]}^{\frac{1}{p}} \leq {[\int_{X} {| f (x) |}^{p} d μ]}^{\frac{1}{p}} + {[\int_{X} {| g (x) |}^{p} d μ]}^{\frac{1}{p}} . \end{matrix}

1.4.2 特殊不等式 ​

1.4.2.1 实数的三角不等式 ​

1.4.2.2 复数的三角不等式 ​

1.4.2.3 实数和复数差的绝对值不等式 ​

1.4.2.4 算术平均和几何平均不等式 ​

1.4.2.5 算术平均和二次均值不等式 ​

1.4.2.6 实数不同平均值的不等式 ​

1.4.2.7 伯努利不等式 ​

1.4.2.8 二项式不等式 ​

1.4.2.9 柯西-施瓦茨不等式 ​

1. 柯西-施瓦茨实数不等式 ​

2. 柯西-施瓦茨复数不等式 ​

3. 无穷收敛级数的柯西-施瓦茨不等式和柯西-施瓦茨积分不等式 ​

1.4.2.10 切比雪夫不等式 ​

1.4.2.11 广义切比雪夫不等式 ​

1.4.2.12 赫尔德不等式 ​

1. 赫尔德级数不等式 ​

2. 赫尔德积分不等式 ​

1.4.2.13 闵可夫斯基不等式 ​

1. 闵可夫斯基级数不等式 ​